平面上の曲線の問題

方針　交点の座標を直接求めずに、交点の $x$ 座標を 2 次方程式の 2 つの解 $\alpha$, $\beta$ とみて、解と係数の関係を使います。

1. $y$ を消去して 2 次方程式をつくる

$y=x-2$ を $y^2=8x$ に代入すると
$$(x-2{)}^2=8x$$
$$x^2-4x+4=8x$$
$$x^2-12x+4=0(1)$$
判別式を $D$ とすると $\frac{D}{4}=(-6{)}^2-1\cdot 4=32>0$ なので、$(1)$ は異なる 2 つの実数解をもちます。これが $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標です。

2. 解と係数の関係

$\mathrm{P}(\alpha ,\alpha -2)$, $\mathrm{Q}(\beta ,\beta -2)$ とおくと、$\alpha$, $\beta$ は $(1)$ の 2 解なので
$$\alpha +\beta =12,\alpha \beta =4$$

3. 弦の長さを $\alpha$, $\beta$ で表す

2 点は傾き $1$ の直線上にあるので、$y$ 座標の差は $(\beta -2)-(\alpha -2)=\beta -\alpha$ です。よって
$${\mathrm{PQ}}^2=(\beta -\alpha {)}^2+(\beta -\alpha {)}^2=2(\beta -\alpha {)}^2$$
ここで
$$(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =12^2-4\cdot 4=144-16=128$$
したがって
$${\mathrm{PQ}}^2=2\cdot 128=256$$
$\mathrm{PQ}>0$ より
$$\mathrm{PQ}=16$$

（参考：この直線は放物線の焦点 $(2,0)$ を通るので、焦点と準線 $x=-2$ の性質から $\mathrm{PQ}=(\alpha +2)+(\beta +2)=12+4=16$ とも確かめられます。）

$y=x-2$ を $y^2=8x$ に代入すると $(x-2{)}^2=8x$ より $x^2-12x+4=0$。判別式は $144-16=128>0$ なので異なる 2 点で交わる。2 解を $x_1,x_2$ とすると $x_1+x_2=12$, $x_1{x}_2=4$。よって $(x_1-x_2{)}^2=144-16=128$ で、$|x_1-x_2|=8\sqrt{2}$。直線の傾きは 1 なので $\mathrm{PQ}=\sqrt{2}|x_1-x_2|=\sqrt{2}\cdot 8\sqrt{2}=16$。検算：この放物線の焦点は $(2,0)$ で、直線 $y=x-2$ は焦点を通る。焦点を通る弦の長さは $x_1+x_2+4=12+4=16$ となり一致する。