平面上の曲線の問題

手順1：$y$ を消去して、交点の $x$ 座標が満たす 2 次方程式をつくる

$y=x-1$ を $y^2=4x$ に代入すると
$$(x-1{)}^2=4x$$
$$x^2-2x+1=4x$$
$$x^2-6x+1=0(1)$$

判別式は $D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=32>0$ である。よって $(1)$ は異なる 2 つの実数解をもち、確かに 2 点で交わる。

手順2：解と係数の関係を使う

$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ とおくと、これらは $(1)$ の 2 解である。解と係数の関係より
$$\alpha +\beta =6,\alpha \beta =1$$

手順3：弦の長さを $\alpha$, $\beta$ で表す

$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ は直線 $y=x-1$ 上の点なので、$\mathrm{P}(\alpha ,\alpha -1)$, $\mathrm{Q}(\beta ,\beta -1)$ と書ける。$y$ 座標の差は $(\alpha -1)-(\beta -1)=\alpha -\beta$ である。2 点間の距離の公式より
$${\mathrm{PQ}}^2=(\alpha -\beta {)}^2+(\alpha -\beta {)}^2=2(\alpha -\beta {)}^2$$

ここで、$\alpha$, $\beta$ を個別に求めずに $(\alpha -\beta {)}^2$ を計算する。
$$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =6^2-4\cdot 1=32$$

したがって
$${\mathrm{PQ}}^2=2\cdot 32=64$$
$\mathrm{PQ}>0$ より
$$\mathrm{PQ}=8$$

答え：$8$

$y=x-1$ を $y^2=4x$ に代入すると $(x-1{)}^2=4x$ より $x^2-6x+1=0$。2解を $x_1,x_2$ とすると $x_1+x_2=6$, $x_1{x}_2=1$。
$(x_1-x_2{)}^2=36-4=32$。直線の傾きは 1 なので $\mathrm{PQ}=\sqrt{1+1^2}|x_1-x_2|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}=\sqrt{64}=8$。
検算：この直線は焦点 $(1,0)$ を通るので焦点弦であり、$\mathrm{PQ}=x_1+x_2+2=6+2=8$ となり一致する。