平面上の曲線の問題

原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標において、2 点 $\mathrm{A}\left(2,\frac{\pi }{6}\right)$, $\mathrm{B}\left(4,\frac{\pi }{2}\right)$ をとる。2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 間の距離 $\mathrm{AB}$ を求めよ。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考える。極方程式
$$r=4\sin \theta$$
で表される曲線を $C$、極方程式
$$r\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=2$$
で表される図形を $\ell$ とする。$C$ と $\ell$ の 2 つの交点を $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ とするとき、線分 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考える。極方程式
$$r=4\sin \theta$$
で表される曲線を $C$、極方程式
$$r\cos \left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)=2$$
で表される図形を $\ell$ とする。$\ell$ が $C$ から切り取る線分（弦）の長さを求めよ。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考える。極方程式
$$r=\frac{6}{1+2\cos \theta }$$
で表される曲線を $C$ とする。ただし、$r<0$ のときは、点 $(r,\theta )$ は点 $(-r,\theta +\pi )$ と同じ点を表すものとする。$C$ を直交座標 $(x,y)$ の方程式で表すと双曲線になる。この双曲線の中心の座標を求めよ。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考える。極方程式
$$r=\frac{6}{2-\cos \theta }$$
で表される曲線 $C$ を直交座標 $(x,y)$ の方程式で表すと
$$\frac{(x-p{)}^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1$$
の形になる。定数 $p,A,B$ の値を、組 $(p,A,B)$ の形でこの順に求めよ。