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平面上の曲線の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C 平面上の曲線

原点 $O$ を極、 $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標において、2 点 $A (2, \frac{π}{6})$ , $B (4, \frac{π}{2})$ をとる。2 点 $A$ , $B$ 間の距離 $AB$ を求めよ。

この問題で使うもの

極座標（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（26 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

極座標と直交座標の変換（ $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ ）を使って、2 点を直交座標で表してみましょう。

ヒント 2

点 A は $x = 2 cos \frac{π}{6}$ , $y = 2 sin \frac{π}{6}$ 、点 B は $x = 4 cos \frac{π}{2}$ , $y = 4 sin \frac{π}{2}$ です。求めたら 2 点間の距離の公式を使います。

ヒント 3

$A (3, 1)$ , $B (0, 4)$ となるので、 $AB^{2} = (0 - 3)^{2} + (4 - 1)^{2}$ を計算します。

答えと解説

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23

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解説を読む

極座標 $(r, θ)$ で表された点は、直交座標では $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ と表されます。これを使って 2 点を直交座標に直してから、距離を求めます。

点 A の直交座標
$x = 2 cos \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3, y = 2 sin \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
よって $A (3, 1)$ です。

点 B の直交座標
$x = 4 cos \frac{π}{2} = 4 \cdot 0 = 0, y = 4 sin \frac{π}{2} = 4 \cdot 1 = 4$
よって $B (0, 4)$ です。

距離 AB
2 点間の距離の公式から
$AB^{2} = (0 - 3)^{2} + (4 - 1)^{2} = 3 + 9 = 12$
$AB > 0$ なので $AB = 12 = 23$ です。

（確認） $△ OAB$ で $OA = 2$ , $OB = 4$ , $∠ AOB = \frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}$ なので、余弦定理より
$AB^{2} = 2^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 4 cos \frac{π}{3} = 4 + 16 - 8 = 12$
となり、同じ結果 $AB = 23$ が得られます。

答え: $23$

別解

余弦定理を用いる。 $∠ AOB = \frac{π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3}$ 、 $OA = 2$ 、 $OB = 4$ より
$AB^{2} = 2^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 4 cos \frac{π}{3} = 4 + 16 - 8 = 12$ 。
よって $AB = 23$ 。

検算：直交座標では $A (3, 1)$ , $B (0, 4)$ 。 $AB^{2} = (3)^{2} + (1 - 4)^{2} = 3 + 9 = 12$ となり一致する。

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