平面上の曲線の問題

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標を考える。極座標が $\left(4,\frac{\pi }{6}\right)$ である点を $\mathrm{A}$、$\left(3,\frac{\pi }{2}\right)$ である点を $\mathrm{B}$ とする。2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 間の距離 $\mathrm{AB}$ を求めよ。

座標平面上に、点 $\mathrm{F}(1,0)$ と直線 $\ell :x=4$ がある。点 $\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ に下ろした垂線を $\mathrm{PH}$ とする。$\mathrm{PF}:\mathrm{PH}=1:2$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は楕円になる。この楕円の方程式を
$$\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1$$
の形で表すとき、$A,B$ の値を求め、組 $(A,B)$ の形で答えよ。

座標平面上の楕円 $C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ と、$C$ の外部の点 $\mathrm{P}(p,4)$ がある。ただし $p$ は正の実数とする。$\mathrm{P}$ から $C$ に引いた 2 本の接線が互いに直交するとき、2 つの接点を $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ とする。直線 $\mathrm{AB}$ の方程式を $y=(x\text{ の式})$ の形で求めよ。

2 点 $\mathrm{F}(2,0)$, ${\mathrm{F}}^{\prime }(-2,0)$ を焦点とし、点 $\mathrm{A}(2,3)$ を通る楕円がある。この楕円の方程式を $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b>0)$ の形で表すとき、$a^2$ と $b^2$ の値をこの順に求めよ。

座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を極、$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考える。極方程式
$$r=\frac{6}{1+2\cos \theta }$$
で表される曲線を $C$ とする。ただし、$r<0$ のときは、点 $(r,\theta )$ は点 $(-r,\theta +\pi )$ と同じ点を表すものとする。$C$ を直交座標 $(x,y)$ の方程式で表すと双曲線になる。この双曲線の中心の座標を求めよ。