ベクトル解析の問題

1. 恒等式による書き換え

スカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ について、積の回転の公式
$$\nabla \times (f\mathbf{G})=\nabla f\times \mathbf{G}+f(\nabla \times \mathbf{G})$$
が成り立つ。よって $\mathbf{F}=\nabla \times (f\mathbf{G})$ である。$f\mathbf{G}$ は多項式で、全空間で $C^1$ 級である。

2. ストークスの定理

$S$ は滑らかな向き付けられた曲面で、その境界は円
$$C:x^2+y^2=3,z=1$$
である。$S$ の法線は外向きで、$S$ の頂点 $(0,0,2)$ では上向きである。したがって境界 $C$ の正の向きは、$z$ 軸の正の側から見て反時計回りである。ストークスの定理より
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS={\oint }_{C}f\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}.$$

3. 線積分の計算

$C$ を $\mathbf{r}(t)=(\sqrt{3}\cos t,\sqrt{3}\sin t,1)(0\le t\le 2\pi )$ と表す。$C$ 上では次のようになる。
- $f=3{\cos }^{2}t+6{\sin }^{2}t+3=6+3{\sin }^{2}t$
- $\mathbf{G}=(\sqrt{3}\sin t,1,\sqrt{3}\cos t)$
- ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=(-\sqrt{3}\sin t,\sqrt{3}\cos t,0)$

よって
$$\mathbf{G}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)=-3{\sin }^{2}t+\sqrt{3}\cos t$$
であり、
$${\oint }_{C}f\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}={\int }_0^{2\pi }(6+3{\sin }^{2}t)(-3{\sin }^{2}t+\sqrt{3}\cos t)dt.$$

$(6+3{\sin }^{2}t)\cos t$ の部分は、$u=\sin t$ と置換すると $0$ から $0$ までの積分になるので $0$ である。また
$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}tdt=\pi ,{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{4}tdt=\frac{3\pi }{4}$$
を用いると、
$${\oint }_{C}f\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}=-{\int }_0^{2\pi }(18{\sin }^{2}t+9{\sin }^{4}t)dt=-\left(18\pi +\frac{27\pi }{4}\right)=-\frac{99\pi }{4}.$$

4. 検算（発散定理による）

恒等式 $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{H})=0$ より $\nabla \cdot \mathbf{F}=0$ である。$S$ と円板 $D:x^2+y^2\le 3,z=1$ で囲まれる立体に発散定理を使うと、$S$ の外向き流束は「$D$ を上向きに貫く流束」に等しい。

$\nabla f=(2x,4y,6z)$、$\nabla \times \mathbf{G}=(-1,-1,-1)$ である。よって
$$F_z=2x\cdot z-4y\cdot y-f.$$
$z=1$ では $F_z=2x-x^2-6y^2-3$ となる。半径 $\sqrt{3}$ の円板上では $\iint xdA=0$、$\iint x^{2}dA=\iint y^{2}dA=\frac{\pi (\sqrt{3}{)}^4}{4}=\frac{9\pi }{4}$、面積は $3\pi$ である。したがって
$${\iint }_D{F}_{z}dA=-\frac{9\pi }{4}-\frac{54\pi }{4}-9\pi =-\frac{99\pi }{4}$$
となり、3 の結果と一致する。

答え：$-\frac{99\pi }{4}$

$\nabla \times (f\mathbf{G})=\nabla f\times \mathbf{G}+f\nabla \times \mathbf{G}$ なので $\mathbf{F}=\nabla \times (f\mathbf{G})$ である。ストークスの定理より、求める値は ${\oint }_{C}f\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}$ に等しい。ここで $C$ は $S$ の境界で、$z=1,x^2+y^2=3$ の円。外向き法線（上向き）に対応する向きは、$z$ 軸の正の側から見て反時計回りである。

$x=\sqrt{3}\cos t,y=\sqrt{3}\sin t,z=1$ $(0\le t\le 2\pi )$ とおく。
$f=3{\cos }^{2}t+6{\sin }^{2}t+3=6+3{\sin }^{2}t$。
$\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}=ydx+zdy+xdz=(-3{\sin }^{2}t+\sqrt{3}\cos t)dt$ （$dz=0$）。

$\oint f\sqrt{3}\cos tdt=\sqrt{3}{\int }_0^{2\pi }(6+3{\sin }^{2}t)\cos tdt=0$。
${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}tdt=\pi$、${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{4}tdt=\frac{3\pi }{4}$ より
$-3{\int }_0^{2\pi }(6{\sin }^{2}t+3{\sin }^{4}t)dt=-3\left(6\pi +\frac{9\pi }{4}\right)=-\frac{99\pi }{4}$。

よって求める値は $-\frac{99\pi }{4}$。