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物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）

時間の単位を適当にとり、減衰振動子の方程式
$x ¨ + γ x ˙ + ω_{0}^{2} x = f (t), γ = 6, ω_{0} = 5$
を考える。フーリエ変換を $x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} x ~ (ω) e^{- iω t}$ で定義すると、グリーン関数（ $f (t) = δ (t)$ に対する解）は
$G (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d ω}{2 π} \frac{e ^{- iω t}}{ω _{0}^{2} - ω ^{2} - iγ ω}$
と書ける。この積分を留数定理で計算して得られる遅延グリーン関数（ $t < 0$ で $G (t) = 0$ となるもの）について、 $t = \frac{π}{8}$ での値 $G (\frac{π}{8})$ を求めよ。

この問題で使うもの

遅延グリーン関数と $i ε$ 処方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（90 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

遅延グリーン関数と $i ε$ 処方の技能を使います。被積分関数の極の位置を求め、 $t > 0$ と $t < 0$ で積分路をどちらの半平面で閉じるかを決めます。

ヒント 2

極は $ω_{\pm} = - \frac{iγ}{2} \pm ω_{0}^{2} - γ^{2} /4 = - 3 i \pm 4$ で、どちらも下半平面にあります。 $t > 0$ では下半平面で（時計回りに）閉じます。

ヒント 3

留数を足すと $t > 0$ で $G (t) = \frac{e ^{- γ t /2} s i n ω _{1} t}{ω _{1}}$ （ $ω_{1} = 4$ ）になります。 $t = \frac{π}{8}$ を代入しましょう。

答えと解説

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\frac{1}{4} e^{- 3 π /8}

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解説を読む

手順 1: 極の位置を求める。 分母を $0$ とおくと $ω^{2} + iγ ω - ω_{0}^{2} = 0$ より
$ω_{\pm} = - \frac{iγ}{2} \pm ω_{0}^{2} - \frac{γ ^{2}}{4} = - 3 i \pm 4.$
（ $ω_{1} = 25 - 9 = 4$ 。）2 つの極はどちらも下半平面にある。減衰 $γ > 0$ がこの場合の $i ε$ の役割を果たし、極を実軸から下にずらしている。

手順 2: 積分路の閉じ方（因果律）。 $e^{- iω t}$ は $ω = R e^{i θ}$ で大きさ $e^{R t s i n θ}$ をもつ。
- $t < 0$ : 上半平面（ $sin θ > 0$ ）で減衰するので上に閉じる。内部に極がないので $G (t) = 0$ 。
- $t > 0$ : 下半平面で閉じる。積分路は時計回りなので $- 2 π i \sum Res$ となる。

手順 3: 留数を計算する（ $t > 0$ ）。 分母は $ω_{0}^{2} - ω^{2} - iγ ω = - (ω - ω_{+}) (ω - ω_{-})$ なので
$G (t) = \frac{- 2 π i}{2 π} [\frac{e ^{- i ω_{+} t}}{- ( ω _{+} - ω _{-} )} + \frac{e ^{- i ω_{-} t}}{- ( ω _{-} - ω _{+} )}] = \frac{i}{2 ω _{1}} (e^{- i ω_{+} t} - e^{- i ω_{-} t}) .$
$e^{- i ω_{\pm} t} = e^{- γ t /2} e^{\mp i ω_{1} t}$ より
$G (t) = \frac{i}{2 ω _{1}} e^{- γ t /2} (- 2 i sin ω_{1} t) = \frac{e ^{- γ t /2} sin ω _{1} t}{ω _{1}} (t > 0) .$

手順 4: 数値を代入する。 $γ /2 = 3$ , $ω_{1} = 4$ , $t = \frac{π}{8}$ では $sin \frac{π}{2} = 1$ なので
$G (\frac{π}{8}) = \frac{e ^{- 3 π /8} \cdot 1}{4} = \frac{1}{4} e^{- 3 π /8} .$

別解

被積分関数の分母 $ω_{0}^{2} - ω^{2} - iγ ω = 0$ の極は $ω = - \frac{iγ}{2} \pm ω_{0}^{2} - \frac{γ ^{2}}{4} = - 3 i \pm 4$ （ $25 - 9 = 4$ ）で下半面にある。 $t > 0$ では下半面を閉じて留数を取り、 $G (t) = \frac{e ^{- γ t /2} s i n Ω t}{Ω} θ (t)$ 、 $Ω = 4$ 、すなわち $G (t) = \frac{e ^{- 3 t} s i n 4 t}{4}$ 。 $t = \frac{π}{8}$ で $sin \frac{π}{2} = 1$ 、 $e^{- 3 π /8}$ なので $G (\frac{π}{8}) = \frac{e ^{- 3 π /8}}{4}$ 。検算: $G (0) = 0$ 、 $G^{'} (0^{+}) = 1$ （ $x ¨ + 6 x ˙ + 25 x = δ$ から $x ˙$ が 1 だけ跳ぶ）で、特性根 $- 3 \pm 4 i$ とも整合する。

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