微分方程式の問題

手順 1: 斉次方程式の解を、それぞれの端の境界条件をみたすように選ぶ。
斉次方程式 $-y^{\prime \prime }=0$ の一般解は $y=ax+b$ である。
- 左端の条件 $y(0)=0$ をみたす解として $u_1(x)=x$
- 右端の条件 $y(2)=0$ をみたす解として $u_2(x)=2-x$

をとる。

手順 2: ロンスキアンを計算する。
$$W=u_1{u}_2^{\prime }-u_1^{\prime }{u}_2=x\cdot (-1)-1\cdot (2-x)=-2$$
$W\ne 0$ なので $u_1,u_2$ は一次独立であり、$0$ は固有値でない（$f=0$ のとき解は $y=0$ だけ）。

手順 3: グリーン関数を作る。
$-(p{y}^{\prime }{)}^{\prime }+qy=f$ の形で $p=1$, $q=0$ である。グリーン関数は
$$G(x,s)=\{\begin{array}{ll}\frac{u_1(s)u_2(x)}{-pW}& (0\le s\le x\le 2)\\ \frac{u_1(x)u_2(s)}{-pW}& (0\le x\le s\le 2)\end{array}$$
で、$-pW=-1\cdot (-2)=2$ だから
$$G(x,s)=\{\begin{array}{ll}\frac{s(2-x)}{2}& (0\le s\le x\le 2)\\ \frac{x(2-s)}{2}& (0\le x\le s\le 2)\end{array}$$

手順 4: 性質を確かめる。
- 連続性: $x=s$ のとき、どちらの式も $\frac{s(2-s)}{2}$ で一致する。
- 対称性: $G(x,s)$ で $x$ と $s$ を入れかえると、2 つの場合がちょうど入れかわるので $G(x,s)=G(s,x)$。
- 境界条件: $G(0,s)=0$, $G(2,s)=0$。
- 導関数のとび: $x=s$ で $\frac{\partial G}{\partial x}$ は、$x<s$ 側で $\frac{2-s}{2}$、$x>s$ 側で $-\frac{s}{2}$ なので、とびは $-\frac{s}{2}-\frac{2-s}{2}=-1=-\frac{1}{p}$ で、$-y^{\prime \prime }=f$ に合っている。

（例として $f=1$ とすると $y(x)={\int }_0^x\frac{s(2-x)}{2}ds+{\int }_x^2\frac{x(2-s)}{2}ds=\frac{x^2(2-x)}{4}+\frac{x(2-x{)}^2}{4}=\frac{x(2-x)}{2}$ となり、$-y^{\prime \prime }=1$, $y(0)=y(2)=0$ をみたす。）

よって、$0\le s\le x\le 2$ のとき
$$G(x,s)=\frac{s(2-x)}{2}$$

グリーン関数は $x\ne s$ で $-G_{xx}=0$、すなわち $x$ について 1 次式で、境界条件 $G(0,s)=G(2,s)=0$ を満たし、$x=s$ で連続、かつ $G_x(s^{+},s)-G_x(s^{-},s)=-1$ を満たす。$x\le s$ では $G=ax$、$x\ge s$ では $G=b(2-x)$ とおく。連続性より $as=b(2-s)$。微分の跳びより $-b-a=-1$、つまり $a+b=1$。これを解いて $a=\frac{2-s}{2}$、$b=\frac{s}{2}$。よって $s\le x$ のとき $G(x,s)=\frac{s(2-x)}{2}$（$x\le s$ では $\frac{x(2-s)}{2}$）。検算: $f=1$ のとき $y(x)={\int }_0^x\frac{s(2-x)}{2}ds+{\int }_x^2\frac{x(2-s)}{2}ds=\frac{x^2(2-x)}{4}+\frac{x(2-x{)}^2}{4}=\frac{x(2-x)}{2}$。これは $-y^{\prime \prime }=1$、$y(0)=y(2)=0$ を満たす。