微分方程式の問題

$\lambda$ の符号で一般解の形が変わるので、特性方程式 $r^2+\lambda =0$ の解を使って、$\lambda <0$、$\lambda =0$、$\lambda >0$ の 3 つの場合に分けて調べる。

(1) $\lambda <0$ のとき
$\lambda =-{\mu }^2$（$\mu >0$）とおくと、特性方程式 $r^2-{\mu }^2=0$ の解は $r=\pm \mu$ なので、一般解は
$$y=A{e}^{\mu x}+B{e}^{-\mu x}$$
である。$y(0)=0$ より $A+B=0$、すなわち $B=-A$。このとき $y(2)=A(e^{2\mu }-e^{-2\mu })=0$ となる。$\mu >0$ より $e^{2\mu }-e^{-2\mu }>0$ なので $A=0$、したがって $B=0$ となり、$y\equiv 0$ しか得られない。よって $\lambda <0$ は固有値ではない。

(2) $\lambda =0$ のとき
$y^{\prime \prime }=0$ より $y=A+Bx$。$y(0)=A=0$、$y(2)=2B=0$ より $A=B=0$ となり、やはり $y\equiv 0$ だけである。よって $\lambda =0$ も固有値ではない。

(3) $\lambda >0$ のとき
$\lambda =k^2$（$k>0$）とおくと、特性方程式 $r^2+k^2=0$ の解は $r=\pm ki$ なので、一般解は
$$y=A\cos kx+B\sin kx$$
である。$y(0)=A=0$ より $y=B\sin kx$。さらに $y(2)=B\sin 2k=0$ となる。
恒等的に $0$ でない解がほしいので $B\ne 0$ でなければならず、
$$\sin 2k=0⟺2k=n\pi (n\text{ は正の整数})$$
となる（$k>0$ なので $n\ge 1$）。よって $k=\frac{n\pi }{2}$ で、固有値は
$$\lambda =k^2=\frac{n^2{\pi }^2}{4}(n=1,2,3,\dots )$$
であり、対応する固有関数は $y=\sin \frac{n\pi x}{2}$（の $0$ でない定数倍）である。

以上より、固有値は $\frac{{\pi }^2}{4},{\pi }^2,\frac{9{\pi }^2}{4},\dots$ で、最小のものは $n=1$ のときの
$$\lambda =\frac{{\pi }^2}{4}$$
である（固有関数は $y=\sin \frac{\pi x}{2}$）。

$\lambda \le 0$ の場合は自明解 $y\equiv 0$ しかない。
- $\lambda =0$: $y=ax+b$ で、$y(0)=0$ より $b=0$、$y(2)=0$ より $a=0$。
- $\lambda =-{\mu }^2<0$: $y=A\sinh (\mu x)+B\cosh (\mu x)$ で、$y(0)=0$ より $B=0$、$y(2)=A\sinh (2\mu )=0$ より $A=0$。

$\lambda =k^2>0$ のとき、$y=A\sin (kx)+B\cos (kx)$ である。$y(0)=0$ より $B=0$。$y(2)=A\sin (2k)=0$ で $A\ne 0$ となるには $2k=n\pi$ ($n$ は正の整数) が必要で、$k=n\pi /2$ となる。よって ${\lambda }_n=n^2{\pi }^2/4$ ($n=1,2,\dots$)。

最小は $n=1$ のとき $\lambda ={\pi }^2/4$ である。

検算: $y=\sin (\pi x/2)$ とすると $y^{\prime \prime }=-({\pi }^2/4)y$ で、$y(0)=0$、$y(2)=\sin \pi =0$ を満たす。