微分方程式の問題

手順 1：一般解を求める。
$\lambda >0$ なので $\lambda =k^2$（$k>0$）とおく。微分方程式は $y^{\prime \prime }+k^{2}y=0$ となる。特性方程式は $t^2+k^2=0$ で、その解は虚数解 $t=\pm ki$ である。よって一般解は
$$y=C_1\cos kx+C_2\sin kx(C_1,C_2\text{ は定数})$$
である。

手順 2：左端の条件 $y(0)=0$ を使う。
$y(0)=C_1\cos 0+C_2\sin 0=C_1$ なので、$C_1=0$ となる。したがって $y=C_2\sin kx$ である。

手順 3：右端の条件 $y(3)=0$ を使う。
$y(3)=C_2\sin 3k=0$ である。$C_2=0$ だと $y$ は恒等的に $0$ になってしまうので、$0$ でない解をもつためには $C_2\ne 0$ が必要である。よって
$$\sin 3k=0$$
でなければならない。$k>0$ より $3k>0$ であるから、$3k=n\pi$（$n$ は正の整数）、すなわち $k=\frac{n\pi }{3}$ である。

手順 4：固有値を書き出す。
$$\lambda =k^2=\frac{n^2{\pi }^2}{9}(n=1,2,3,\dots )$$
であり、対応する固有関数は $y=C\sin \frac{n\pi x}{3}$（$C\ne 0$）である。

$\lambda$ は $n$ について増加するので、小さい順に $\frac{{\pi }^2}{9},\frac{4{\pi }^2}{9},{\pi }^2,\dots$ となる。2 番目に小さいのは $n=2$ のときで
$$\lambda =\frac{4{\pi }^2}{9}$$
である（このときの固有関数は $y=C\sin \frac{2\pi x}{3}$）。

$\lambda >0$ のとき一般解は $y=A\cos (\sqrt{\lambda }x)+B\sin (\sqrt{\lambda }x)$。$y(0)=0$ より $A=0$。$y(3)=B\sin (3\sqrt{\lambda })=0$ で、$B\ne 0$ となるには $3\sqrt{\lambda }=n\pi$（$n$ は正の整数）が必要。よって ${\lambda }_n={\left(\frac{n\pi }{3}\right)}^2=\frac{n^2{\pi }^2}{9}$。小さい順に ${\pi }^2/9,4{\pi }^2/9,\dots$ なので、2 番目は $n=2$ のとき $\lambda =\frac{4{\pi }^2}{9}$。検算：$y=\sin (2\pi x/3)$ は $y(0)=0$、$y(3)=\sin 2\pi =0$、$y^{\prime \prime }=-(2\pi /3{)}^{2}y$ を満たす。