この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

微分方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学微分方程式

$x > 0$ で定義された関数 $y = y (x)$ についての微分方程式
$x^{2} y^{''} + 2 x y^{'} - 6 y = 0$
の解のうち、初期条件 $y (1) = 1, y^{'} (1) = 7$ を満たすものを求めよ。

この問題で使うもの

オイラー型（コーシー・オイラー型）方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

オイラー型方程式の技能を使う。 $x = e^{t}$ と置き換えて、 $t$ についての定数係数2階線形方程式に直そう。

ヒント 2

$x = e^{t}$ のとき $x y^{'} = \frac{d y}{d t}$ 、 $x^{2} y^{''} = \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t}$ となる。これを代入して特性方程式を作ろう。

ヒント 3

置き換えると $\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + \frac{d y}{d t} - 6 y = 0$ となり、特性方程式の解は $λ = 2, - 3$ 。一般解は $y = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{- 3}$ なので、あとは初期条件から $C_{1}, C_{2}$ を決めればよい。

答えと解説

答えを見る

2 x^{2} - \frac{1}{x ^{3}}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針オイラー型方程式なので、 $x = e^{t}$ （ $t = lo g x$ ）と置き換えて、 $t$ についての定数係数の方程式に直す。

手順1：導関数の書き換え $x = e^{t}$ のとき $\frac{d t}{d x} = \frac{1}{x} = e^{- t}$ である。合成関数の微分により
$y^{'} = \frac{d y}{d x} = e^{- t} \frac{d y}{d t} .$
もう一度 $x$ で微分すると、積の微分により
$y^{''} = \frac{d}{d x} (e^{- t} \frac{d y}{d t}) = e^{- t} \frac{d}{d t} (e^{- t} \frac{d y}{d t}) = e^{- 2 t} (\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t}) .$
よって $x^{2} = e^{2 t}$ に注意すると
$x y^{'} = \frac{d y}{d t}, x^{2} y^{''} = \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t} .$

手順2：定数係数の方程式にする 与えられた方程式に代入すると
$(\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t}) + 2 \frac{d y}{d t} - 6 y = 0 すなわち \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + \frac{d y}{d t} - 6 y = 0.$

手順3：特性方程式を解く 特性方程式は $λ^{2} + λ - 6 = 0$ 、すなわち $(λ - 2) (λ + 3) = 0$ なので $λ = 2, - 3$ （異なる実数解）。よって一般解は
$y = C_{1} e^{2 t} + C_{2} e^{- 3 t} (C_{1}, C_{2} は定数) .$
$e^{t} = x$ に戻すと
$y = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{- 3} .$

手順4：初期条件 $y^{'} = 2 C_{1} x - 3 C_{2} x^{- 4}$ である。
$y (1) = C_{1} + C_{2} = 1$ 、 $y^{'} (1) = 2 C_{1} - 3 C_{2} = 7$ 。
1つ目から $C_{2} = 1 - C_{1}$ を2つ目に代入して $2 C_{1} - 3 + 3 C_{1} = 7$ 、 $C_{1} = 2$ 、 $C_{2} = - 1$ 。

したがって求める解は
$y = 2 x^{2} - \frac{1}{x ^{3}} .$
（確認： $y^{'} = 4 x + 3 x^{- 4}$ 、 $y^{''} = 4 - 12 x^{- 5}$ より $x^{2} y^{''} + 2 x y^{'} - 6 y = 4 x^{2} - 12 x^{- 3} + 8 x^{2} + 6 x^{- 3} - 12 x^{2} + 6 x^{- 3} = 0$ 。）

別解

オイラー型の微分方程式なので $y = x^{r}$ を代入する。 $r (r - 1) + 2 r - 6 = 0$ より $r^{2} + r - 6 = 0$ 、すなわち $(r + 3) (r - 2) = 0$ で $r = 2, - 3$ 。一般解は $y = A x^{2} + B x^{- 3}$ 。
初期条件より $y (1) = A + B = 1$ 、 $y^{'} (x) = 2 A x - 3 B x^{- 4}$ から $y^{'} (1) = 2 A - 3 B = 7$ 。
$B = 1 - A$ を代入すると $2 A - 3 + 3 A = 7$ なので $A = 2$ 、 $B = - 1$ 。
よって $y = 2 x^{2} - x^{- 3}$ 。
検算： $y (1) = 2 - 1 = 1$ 。 $y^{'} = 4 x + 3 x^{- 4}$ より $y^{'} (1) = 7$ 。 $y^{''} = 4 - 12 x^{- 5}$ なので $x^{2} y^{''} + 2 x y^{'} - 6 y = 4 x^{2} - 12 x^{- 3} + 8 x^{2} + 6 x^{- 3} - 12 x^{2} + 6 x^{- 3} = 0$ 。よって条件を満たす。

微分方程式の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題