微分方程式の問題

手順 1：置き換え $x=e^t$ で微分を書き直す。
$x=e^t$（$t=\log x$）とおくと、$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}=e^{-t}$ である。合成関数の微分より
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=e^{-t}\frac{dy}{dt}.$$
もう一度 $x$ で微分すると、$\frac{d}{dx}=e^{-t}\frac{d}{dt}$ なので、積の微分を使って
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^{-t}\frac{d}{dt}\left(e^{-t}\frac{dy}{dt}\right)=e^{-t}\left(-e^{-t}\frac{dy}{dt}+e^{-t}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\right)=e^{-2t}\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\right).$$
したがって
$$x{y}^{\prime }=\frac{dy}{dt},x^2{y}^{\prime \prime }=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}.$$

手順 2：定数係数の方程式に直す。
これらを代入すると
$$\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\right)-4\frac{dy}{dt}+6y=0\text{すなわち}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-5\frac{dy}{dt}+6y=0.$$

手順 3：特性方程式を解く。
特性方程式は ${\lambda }^2-5\lambda +6=0$、すなわち $(\lambda -2)(\lambda -3)=0$ なので $\lambda =2,3$（異なる実数解）。よって
$$y=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{3t}(C_1,C_2\text{ は定数}).$$

手順 4：$x$ に戻す。
$e^t=x$ より $e^{2t}=x^2$、$e^{3t}=x^3$ なので、一般解は
$$y=C_1{x}^2+C_2{x}^3.$$

手順 5：初期条件から定数を決める。
$y^{\prime }=2C_{1}x+3C_2{x}^2$ である。
$y(1)=0$ より $C_1+C_2=0$、$y^{\prime }(1)=1$ より $2C_1+3C_2=1$。
第 1 式から $C_1=-C_2$ を第 2 式に代入して $-2C_2+3C_2=1$、よって $C_2=1$、$C_1=-1$。

したがって
$$y=x^3-x^2.$$
（確認：$y^{\prime }=3x^2-2x$, $y^{\prime \prime }=6x-2$ で、$x^2(6x-2)-4x(3x^2-2x)+6(x^3-x^2)=6x^3-2x^2-12x^3+8x^2+6x^3-6x^2=0$。）

オイラー型の方程式なので $x=e^t$ と置く。$y(x)=u(t)$ とすると $x{y}^{\prime }=u^{\prime }$、$x^2{y}^{\prime \prime }=u^{\prime \prime }-u^{\prime }$ である。これを方程式に代入すると $u^{\prime \prime }-u^{\prime }-4u^{\prime }+6u=0$、すなわち $u^{\prime \prime }-5u^{\prime }+6u=0$ となる。特性方程式 ${\lambda }^2-5\lambda +6=0$ の解は $\lambda =2,3$ なので、$u=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{3t}$、すなわち $y=C_1{x}^2+C_2{x}^3$ である。初期条件 $y(1)=C_1+C_2=0$、$y^{\prime }(1)=2C_1+3C_2=1$ より $C_2=1$、$C_1=-1$ となる。したがって $y=x^3-x^2$ である。検算として、$y^{\prime }=3x^2-2x$、$y^{\prime \prime }=6x-2$ より $x^2(6x-2)-4x(3x^2-2x)+6(x^3-x^2)=6x^3-2x^2-12x^3+8x^2+6x^3-6x^2=0$ となり成り立つ。また $y(1)=0$、$y^{\prime }(1)=1$ も満たす。