偏微分方程式の問題

固有関数の決定. $u=X(x)T(t)$ とおくと $\frac{T^{\prime }}{T}=\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda$ となり、$X^{\prime \prime }+\lambda X=0$, $X(0)=0$, $X^{\prime }(\pi )=0$ を得る。$\lambda \le 0$ では自明解しかなく、$\lambda ={\mu }^2>0$ のとき $X=\sin \mu x$ で、$X^{\prime }(\pi )=\mu \cos \mu \pi =0$ より
$${\mu }_n=n+\frac{1}{2}(n=0,1,2,\dots ),X_n(x)=\sin {\mu }_{n}x.$$
これらは $L^2(0,\pi )$ の直交系で ${\int }_0^{\pi }{\sin }^2{\mu }_{n}xdx=\frac{\pi }{2}$（$\sin 2{\mu }_n\pi =\sin (2n+1)\pi =0$ より）であり、完全系をなす（自己共役なスツルム・リウヴィル問題の固有関数系）。対応して $T_n=e^{-{\mu }_n^{2}t}$ だから
$$u(x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{e}^{-{\mu }_n^{2}t}\sin {\mu }_{n}x.$$

係数の計算. 初期条件より
$$c_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\sin {\mu }_{n}xdx=\frac{2}{\pi }\left({\left[-\frac{x\cos {\mu }_{n}x}{{\mu }_n}\right]}_0^{\pi }+\frac{1}{{\mu }_n}{\int }_0^{\pi }\cos {\mu }_{n}xdx\right)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\sin {\mu }_n\pi }{{\mu }_n^2}.$$
ここで $\cos {\mu }_n\pi =0$, $\sin {\mu }_n\pi =(-1{)}^n$ なので $c_n=\frac{2(-1{)}^n}{\pi {\mu }_n^2}$。

$L^2$ ノルムと時間積分. 直交性（パーセバルの等式）より、各 $t>0$ で
$${\int }_0^{\pi }u(x,t{)}^{2}dx=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n^2{e}^{-2{\mu }_n^{2}t}.$$
各項は非負なので、単調収束定理により和と $t$ の積分を交換でき、${\int }_0^{\infty }{e}^{-2{\mu }_n^{2}t}dt=\frac{1}{2{\mu }_n^2}$ から
$$J=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{4}{{\pi }^2{\mu }_n^4}\cdot \frac{1}{2{\mu }_n^2}=\frac{1}{\pi }\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{{\mu }_n^6}=\frac{64}{\pi }\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n+1{)}^6}.$$

級数の値. $\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$ で、偶数の項の和は $\frac{1}{64}\zeta (6)$ だから
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{(2n+1{)}^6}=\left(1-\frac{1}{64}\right)\frac{{\pi }^6}{945}=\frac{63}{64}\cdot \frac{{\pi }^6}{945}=\frac{{\pi }^6}{960}.$$
よって
$$J=\frac{64}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^6}{960}=\frac{{\pi }^5}{15}.$$

検算（級数を使わない方法）. $A=-\frac{d^2}{d{x}^2}$（定義域の境界条件 $X(0)=0,X^{\prime }(\pi )=0$）とすると $J=\frac{1}{2}⟨A^{-1}{u}_0,u_0⟩$ である（固有値 ${\mu }_n^2$ での展開から $\frac{\pi }{2}\sum c_n^2/(2{\mu }_n^2)$ と一致）。$-w^{\prime \prime }=x$, $w(0)=0$, $w^{\prime }(\pi )=0$ を解くと $w=\frac{{\pi }^{2}x}{2}-\frac{x^3}{6}$ で、
$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\left(\frac{{\pi }^2{x}^2}{2}-\frac{x^4}{6}\right)dx=\frac{1}{2}\left(\frac{{\pi }^5}{6}-\frac{{\pi }^5}{30}\right)=\frac{{\pi }^5}{15}$$
となり一致する。

答え: $J=\frac{{\pi }^5}{15}$

境界条件 $X(0)=0,X^{\prime }(\pi )=0$ をみたす固有関数は $X_n=\sin ({\mu }_{n}x)$, ${\mu }_n=n-\frac{1}{2}$ $(n=1,2,\dots )$、固有値 ${\mu }_n^2$。${\int }_0^{\pi }{\sin }^2({\mu }_{n}x)dx=\frac{\pi }{2}$。

展開係数: ${\int }_0^{\pi }x\sin ({\mu }_{n}x)dx={\left[-\frac{x\cos {\mu }_{n}x}{{\mu }_n}\right]}_0^{\pi }+\frac{\sin {\mu }_n\pi }{{\mu }_n^2}=\frac{(-1{)}^{n+1}}{{\mu }_n^2}$（$\cos {\mu }_n\pi =0$）。よって $b_n=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{\pi {\mu }_n^2}$、$u=\sum b_n{e}^{-{\mu }_n^{2}t}\sin {\mu }_{n}x$。

直交性より ${\int }_0^{\pi }{u}^{2}dx=\frac{\pi }{2}\sum b_n^2{e}^{-2{\mu }_n^{2}t}$。$t$ で積分して
$$J=\sum _n\frac{\pi }{2}\cdot \frac{b_n^2}{2{\mu }_n^2}=\sum _n\frac{1}{\pi {\mu }_n^6}=\frac{64}{\pi }\sum _{k\text{ odd}}\frac{1}{k^6}=\frac{64}{\pi }\cdot \frac{63}{64}\cdot \frac{{\pi }^6}{945}=\frac{{\pi }^5}{15}.$$

検算: $J=\frac{1}{2}⟨x,A^{-1}x⟩$（$A=-{\partial }_x^2$ に同じ境界条件）。$-w^{\prime \prime }=x$, $w(0)=0$, $w^{\prime }(\pi )=0$ を解くと $w=-\frac{x^3}{6}+\frac{{\pi }^2}{2}x$。$\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }xwdx=\frac{1}{2}\left(-\frac{{\pi }^5}{30}+\frac{{\pi }^5}{6}\right)=\frac{{\pi }^5}{15}$。一致する。