偏微分方程式の問題

変数分離. $u=X(x)T(t)$ とおくと $X{T}^{\prime }=2X^{\prime \prime }T$ より $\frac{T^{\prime }}{2T}=\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda$（定数）。境界条件 $X(0)=X(\pi )=0$ のもとで $X^{\prime \prime }+\lambda X=0$ が自明でない解をもつのは $\lambda =n^2$ $(n=1,2,\dots )$ のときで、$X_n=\sin nx$。このとき $T_n=e^{-2n^{2}t}$。重ね合わせて
$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{e}^{-2n^{2}t}\sin nx.$$

係数. $t=0$ として $x(\pi -x)=\sum b_n\sin nx$ だから
$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x(\pi -x)\sin nxdx.$$
部分積分を 2 回行う。${\int }_0^{\pi }x(\pi -x)\sin nxdx={\left[-\frac{x(\pi -x)\cos nx}{n}\right]}_0^{\pi }+\frac{1}{n}{\int }_0^{\pi }(\pi -2x)\cos nxdx$ で、第 1 項は $0$。さらに
$${\int }_0^{\pi }(\pi -2x)\cos nxdx={\left[\frac{(\pi -2x)\sin nx}{n}\right]}_0^{\pi }+\frac{2}{n}{\int }_0^{\pi }\sin nxdx=\frac{2}{n}\cdot \frac{1-(-1{)}^n}{n}.$$
よって
$$b_n=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{2(1-(-1{)}^n)}{n^3}=\{\begin{array}{ll}\frac{8}{\pi n^3}& (n\text{ が奇数})\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}.$$

積分の計算. $|b_n{e}^{-2n^{2}t}\sin nx|\le \frac{8}{\pi n^3}{e}^{-2n^{2}t}$ であり、$\sum _n{\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }\frac{8}{\pi n^3}{e}^{-2n^{2}t}dxdt=\sum _n\frac{4}{n^5}<\infty$ なので、項別積分してよい。$n$ が奇数のとき
$${\int }_0^{\pi }\sin nxdx=\frac{1-(-1{)}^n}{n}=\frac{2}{n},{\int }_0^{\infty }{e}^{-2n^{2}t}dt=\frac{1}{2n^2}.$$
したがって
$$I=\sum _{n\text{ odd}}\frac{8}{\pi n^3}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{2n^2}=\frac{8}{\pi }\sum _{n\text{ odd}}\frac{1}{n^6}.$$
ここで
$$\sum _{n\text{ odd}}\frac{1}{n^6}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}-\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(2m{)}^6}=\left(1-\frac{1}{64}\right)\frac{{\pi }^6}{945}=\frac{63}{64}\cdot \frac{{\pi }^6}{945}=\frac{{\pi }^6}{960}.$$
よって
$$I=\frac{8}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^6}{960}=\frac{{\pi }^5}{120}.$$

検算（別解）. $v(x)={\int }_0^{\infty }u(x,t)dt$ とおくと、$u\to 0$ $(t\to \infty )$ より $2v^{\prime \prime }={\int }_0^{\infty }{u}_{t}dt=-x(\pi -x)$、$v(0)=v(\pi )=0$。これを解くと $v=\frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{12}-\frac{\pi x^3}{6}+\frac{{\pi }^{3}x}{12}\right)$ で、${\int }_0^{\pi }vdx=\frac{1}{2}\left(\frac{{\pi }^5}{60}-\frac{{\pi }^5}{24}+\frac{{\pi }^5}{24}\right)=\frac{{\pi }^5}{120}$ となり一致する。

答え: $I=\frac{{\pi }^5}{120}$

$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x(\pi -x)\sin nxdx$。部分積分により ${\int }_0^{\pi }x(\pi -x)\sin nxdx=\frac{2(1-(-1{)}^n)}{n^3}$ なので $b_n=\frac{4(1-(-1{)}^n)}{\pi n^3}$、すなわち $n$ が奇数なら $b_n=\frac{8}{\pi n^3}$、偶数なら $0$。
${\int }_0^{\pi }\sin nxdx=\frac{1-(-1{)}^n}{n}$（奇数 $n$ で $\frac{2}{n}$）、${\int }_0^{\infty }{e}^{-2n^{2}t}dt=\frac{1}{2n^2}$。項別積分（各項が絶対可積分で和も収束）により
$I={\sum }_{n\text{ 奇数}}\frac{8}{\pi n^3}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{2n^2}=\frac{8}{\pi }{\sum }_{n\text{ 奇数}}\frac{1}{n^6}$。
${\sum }_{n\text{ 奇数}}{n}^{-6}=\left(1-\frac{1}{64}\right)\frac{{\pi }^6}{945}=\frac{63}{64}\cdot \frac{{\pi }^6}{945}=\frac{{\pi }^6}{960}$。よって $I=\frac{8}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^6}{960}=\frac{{\pi }^5}{120}$。
検算: ${\int }_0^{\pi }udx$ の $t=0$ の値は ${\int }_0^{\pi }x(\pi -x)dx={\pi }^3/6$。級数 ${\sum }_{\text{奇}}\frac{16}{\pi n^4}=\frac{16}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^4}{96}=\frac{{\pi }^3}{6}$ で一致。