偏微分方程式の問題

変数分離. $u=X(x)T(t)$ とおくと $\frac{T^{\prime }}{T}=\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda$ となる。境界条件から $X^{\prime }(0)=X^{\prime }(\pi )=0$ なので、固有値問題 $X^{\prime \prime }=-\lambda X$ の解は $\lambda =n^2$, $X_n=\cos nx$ $(n=0,1,2,\dots )$ である。対応して $T_n=e^{-n^{2}t}$ となるので、解は
$$u(x,t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{e}^{-n^{2}t}\cos nx$$
の形に書ける。

係数. 初期条件 $u(x,0)=x$ を $[0,\pi ]$ 上でフーリエ余弦級数に展開する。
$$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }xdx=\pi .$$
$n\ge 1$ のときは部分積分により
$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\cos nxdx=\frac{2}{\pi }\left({\left[\frac{x\sin nx}{n}\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\frac{\sin nx}{n}dx\right)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{(-1{)}^n-1}{n^2}$$
である。したがって $n$ が偶数のとき $a_n=0$、$n$ が奇数のとき $a_n=-\frac{4}{\pi n^2}$ となり、
$$u(x,t)-\frac{\pi }{2}=\sum _{n\text{odd}}\left(-\frac{4}{\pi n^2}\right)e^{-n^{2}t}\cos nx.$$

$x$ についての積分. $t>0$ を固定すると、係数は $e^{-n^{2}t}$ によって急速に減少するので、級数は $x$ について一様収束する。$\{\cos nx\}$ の直交性
$${\int }_0^{\pi }\cos mx\cos nxdx=\frac{\pi }{2}{\delta }_{mn}(m,n\ge 1)$$
を用いると、
$${\int }_0^{\pi }{\left(u-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dx=\frac{\pi }{2}\sum _{n\text{odd}}\frac{16}{{\pi }^2{n}^4}{e}^{-2n^{2}t}=\frac{8}{\pi }\sum _{n\text{odd}}\frac{e^{-2n^{2}t}}{n^4}.$$

$t$ についての積分. 各項は非負なので、単調収束定理により項別に積分してよい。${\int }_0^{\infty }{e}^{-2n^{2}t}dt=\frac{1}{2n^2}$ より
$$I=\frac{8}{\pi }\sum _{n\text{odd}}\frac{1}{2n^6}=\frac{4}{\pi }\sum _{n\text{odd}}\frac{1}{n^6}.$$

和の計算. $\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$ を用いる。偶数番目の項の和は $\frac{1}{64}\zeta (6)$ なので、
$$\sum _{n\text{odd}}\frac{1}{n^6}=\left(1-\frac{1}{64}\right)\zeta (6)=\frac{63}{64}\cdot \frac{{\pi }^6}{945}=\frac{{\pi }^6}{960}.$$

結論. 以上より
$$I=\frac{4}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^6}{960}=\frac{{\pi }^5}{240}.$$

$x$ を $[0,\pi ]$ 上でフーリエ余弦級数に展開する。$a_0/2=\pi /2$、$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\cos nxdx=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{(-1{)}^n-1}{n^2}$ なので、$n$ が奇数のとき $a_n=-\frac{4}{\pi n^2}$、偶数のとき $a_n=0$ である。

よって $u=\frac{\pi }{2}+{\sum }_{n\text{ 奇数}}{a}_n{e}^{-n^{2}t}\cos nx$。

${\int }_0^{\pi }\cos nx\cos mxdx=\frac{\pi }{2}{\delta }_{nm}$（$n,m\ge 1$）より、
$${\int }_0^{\pi }{\left(u-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dx=\frac{\pi }{2}\sum _{n\text{ 奇数}}{a}_n^2{e}^{-2n^{2}t}.$$

$t$ で $0$ から $\infty$ まで積分すると ${\int }_0^{\infty }{e}^{-2n^{2}t}dt=\frac{1}{2n^2}$ なので、
$$I=\frac{\pi }{2}\sum _{n\text{ 奇数}}\frac{16}{{\pi }^2{n}^4}\cdot \frac{1}{2n^2}=\frac{4}{\pi }\sum _{n\text{ 奇数}}\frac{1}{n^6}.$$

${\sum }_{n\text{ 奇数}}{n}^{-6}=(1-2^{-6})\zeta (6)=\frac{63}{64}\cdot \frac{{\pi }^6}{945}=\frac{{\pi }^6}{960}$。

ゆえに $I=\frac{4}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^6}{960}=\frac{{\pi }^5}{240}$。

検算：$\zeta (6)={\pi }^6/945$ を用い、$945/63=15$ より $\frac{63}{64\cdot 945}=\frac{1}{960}$ となり、上の計算と一致する。項の入れ替えは、級数が一様に収束するため問題ない。