偏微分方程式の問題

変数分離. $u=X(x)T(t)$ とおくと $\frac{T^{\prime }}{T}=\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda$ となり、$X^{\prime \prime }+\lambda X=0$, $X^{\prime }(0)=X^{\prime }(\pi )=0$ の固有値問題を得る。固有値は $\lambda =n^2$ $(n=0,1,2,\dots )$、固有関数は $\cos nx$ で、対応する $T$ は $e^{-n^{2}t}$ である。よって
$$u(x,t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{e}^{-n^{2}t}\cos nx.$$

フーリエ係数. $t=0$ で $x$ の余弦展開に一致させる。
$$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }xdx=\pi ,$$
$n\ge 1$ では部分積分により
$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\cos nxdx=\frac{2}{\pi }\left({\left[\frac{x\sin nx}{n}\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\frac{\sin nx}{n}dx\right)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{(-1{)}^n-1}{n^2}.$$
したがって $n$ が偶数なら $a_n=0$、奇数なら $a_n=-\frac{4}{\pi n^2}$。よって
$$u(0,t)-\frac{\pi }{2}=-\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{e^{-(2k-1{)}^{2}t}}{(2k-1{)}^2}.$$

積分. 各項は正で ${\int }_0^{\infty }{e}^{-(2k-1{)}^{2}t}dt=\frac{1}{(2k-1{)}^2}$ なので、単調収束定理により項別積分してよく
$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt=-\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}.$$
ここで $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\sum _{\text{奇数}}+\sum _{\text{偶数}}$ で、偶数部分は $\frac{1}{16}\cdot \frac{{\pi }^4}{90}$ なので
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}=\left(1-\frac{1}{16}\right)\frac{{\pi }^4}{90}=\frac{{\pi }^4}{96}.$$
よって求める値は
$$-\frac{4}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^4}{96}=-\frac{{\pi }^3}{24}.$$

検算（別解）. $w(x)={\int }_0^{\infty }\left(u(x,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt$ とおくと $w^{\prime \prime }={\int }_0^{\infty }{u}_{t}dt=\frac{\pi }{2}-x$、$w^{\prime }(0)=w^{\prime }(\pi )=0$、また ${\int }_0^{\pi }udx$ は保存されるので ${\int }_0^{\pi }wdx=0$。これより $w=\frac{\pi x^2}{4}-\frac{x^3}{6}-\frac{{\pi }^3}{24}$ となり、$w(0)=-\frac{{\pi }^3}{24}$ で一致する。

変数分離により $u(x,t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n\ge 1}{a}_n{e}^{-n^{2}t}\cos nx$。初期条件 $u(x,0)=x$ より $a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\cos nxdx$。\n\n$a_0=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^2}{2}=\pi$、よって $\frac{a_0}{2}=\frac{\pi }{2}$。$n\ge 1$ では部分積分により ${\int }_0^{\pi }x\cos nxdx={\left[\frac{x\sin nx}{n}\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\frac{\sin nx}{n}dx=\frac{\cos n\pi -1}{n^2}=\frac{(-1{)}^n-1}{n^2}$。したがって $a_n=\frac{2((-1{)}^n-1)}{\pi n^2}$。$n$ が偶数なら $0$、奇数なら $-\frac{4}{\pi n^2}$。\n\nゆえに $u(0,t)-\frac{\pi }{2}=-\frac{4}{\pi }{\sum }_{n\text{ 奇数}}\frac{e^{-n^{2}t}}{n^2}$。項別積分（各項は非負で単調収束定理により正当化される）をすると ${\int }_0^{\infty }{e}^{-n^{2}t}dt=\frac{1}{n^2}$ なので\n$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt=-\frac{4}{\pi }\sum _{n\text{ 奇数}}\frac{1}{n^4}.$$\n奇数の和は ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^4}-{\sum }_{m\ge 1}\frac{1}{(2m{)}^4}=\left(1-\frac{1}{16}\right)\frac{{\pi }^4}{90}=\frac{{\pi }^4}{96}$。よって値は $-\frac{4}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^4}{96}=-\frac{{\pi }^3}{24}$。\n\n検算: $x=0$ では $u(0,0)=0$ で $u(0,0)-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$。級数 $-\frac{4}{\pi }{\sum }_{n\text{ 奇数}}\frac{1}{n^2}=-\frac{4}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^2}{8}=-\frac{\pi }{2}$ と一致。積分値が負であることも、被積分関数が常に負であることと整合する。