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偏微分方程式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学偏微分方程式

$u = u (x, t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$u_{t} = u_{xx} (0 < x < 1, t > 0),$
$u (0, t) = u (1, t) = 0 (t > 0), u (x, 0) = 1 (0 < x < 1)$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によって得られる解 $u$ について、極限
$t \to \infty lim e^{π^{2} t} u (\frac{1}{2}, t)$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

有界区間の熱方程式（説明と入口の問題）
変数分離法（説明と入口の問題）
境界値問題と固有値（説明と入口の問題）
正弦級数・余弦級数（説明と入口の問題）
無限等比級数と無限級数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$u = X (x) T (t)$ と変数分離し、ディリクレ境界条件の固有値問題を解いて、解をフーリエ正弦級数で表す。

ヒント 2

固有値は $λ_{n} = n^{2} π^{2}$ 、固有関数は $sin nπ x$ である。解は $u = \sum b_{n} e^{- n^{2} π^{2} t} sin nπ x$ と書け、 $b_{n} = 2 \int_{0}^{1} u (x, 0) sin nπ x d x$ である。 $t \to \infty$ では最も減衰の遅い項が残る。

ヒント 3

$b_{n} = \frac{2 { 1 - ( - 1 ) ^{n} }}{nπ}$ となる。 $e^{π^{2} t}$ を掛けると、 $n = 1$ の項は $t$ によらず、 $n \geq 3$ の項は $e^{- (n^{2} - 1) π^{2} t}$ の因子をもつ。

答えと解説

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\frac{4}{π}

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解説を読む

手順 1（変数分離） $u = X (x) T (t)$ とおいて方程式に代入すると $X T^{'} = X^{''} T$ となる。両辺を $X T$ で割ると $\frac{T ^{'}}{T} = \frac{X ^{''}}{X} = - λ$ （定数）となる。したがって
$X^{''} + λ X = 0, X (0) = X (1) = 0, T^{'} = - λ T$
に分かれる。

手順 2（固有値問題） $X^{''} + λ X = 0, X (0) = X (1) = 0$ が $0$ でない解をもつのは $λ_{n} = n^{2} π^{2} (n = 1, 2, 3, \dots)$ のときである。このときの固有関数は $X_{n} = sin nπ x$ であり、 $T_{n} = e^{- n^{2} π^{2} t}$ となる。重ね合わせると
$u (x, t) = n = 1 \sum \infty b_{n} e^{- n^{2} π^{2} t} sin nπ x$
となる。

手順 3（初期条件とフーリエ正弦係数） $t = 0$ とおくと、 $1 = \sum b_{n} sin nπ x (0 < x < 1)$ が成り立つ必要がある。よって $b_{n}$ は関数 $1$ のフーリエ正弦係数である。
$b_{n} = 2 \int_{0}^{1} sin nπ x d x = 2 [- \frac{cos nπ x}{nπ}]_{0}^{1} = \frac{2 { 1 - ( - 1 ) ^{n} }}{nπ} .$
これより、 $n$ が奇数のとき $b_{n} = \frac{4}{nπ}$ 、偶数のとき $b_{n} = 0$ である。

手順 4（極限） $x = \frac{1}{2}$ を代入し、 $e^{π^{2} t}$ を掛けると
$e^{π^{2} t} u (\frac{1}{2}, t) = \frac{4}{π} + R (t), R (t) = n = 3, 5, 7, \dots \sum \frac{4}{nπ} e^{- (n^{2} - 1) π^{2} t} sin \frac{nπ}{2}$
となる。 $n = 2 k + 3 (k = 0, 1, 2, \dots)$ とおくと $n^{2} - 1 = 4 k^{2} + 12 k + 8 \geq 8 + k$ である。また $sin \frac{nπ}{2} \leq 1$ 、 $\frac{4}{nπ} \leq \frac{4}{3 π}$ である。よって $t \geq 1$ のとき
$∣ R (t) ∣ \leq \frac{4}{3 π} k = 0 \sum \infty e^{- (8 + k) π^{2} t} \leq \frac{4}{3 π} e^{- 8 π^{2} t} k = 0 \sum \infty e^{- k π^{2}} = \frac{4}{3 π} \cdot \frac{e ^{- 8 π^{2} t}}{1 - e ^{- π^{2}}}$
が成り立つ。右辺は $t \to \infty$ で $0$ に近づくので、 $R (t) \to 0$ である。したがって
$t \to \infty lim e^{π^{2} t} u (\frac{1}{2}, t) = b_{1} sin \frac{π}{2} = \frac{4}{π} .$

別解

初期値 $1$ のフーリエ正弦展開は $1 = \sum_{n \geq 1} b_{n} sin (nπ x)$ で、 $b_{n} = 2 \int_{0}^{1} sin (nπ x) d x = \frac{2 ( 1 - ( - 1 ) ^{n} )}{nπ}$ となる。したがって $n$ が偶数なら $b_{n} = 0$ 、 $n$ が奇数なら $b_{n} = \frac{4}{nπ}$ である。

解は $u (x, t) = \sum_{n 奇数} \frac{4}{nπ} e^{- n^{2} π^{2} t} sin (nπ x)$ である。

$x = 1/2$ では $sin (nπ /2) = (- 1)^{(n - 1) /2}$ となる。よって $u (1/2, t) = \frac{4}{π} \sum_{n 奇数} \frac{( - 1 ) ^{(n - 1) /2}}{n} e^{- n^{2} π^{2} t}$ である。

両辺に $e^{π^{2} t}$ を掛けると、 $n = 1$ の項は $\frac{4}{π}$ になる。 $n \geq 3$ の項は $e^{- (n^{2} - 1) π^{2} t}$ の因子をもつ。 $t \geq 1$ では $\sum_{n \geq 3} \frac{1}{n} e^{- (n^{2} - 1) π^{2} t} \leq e^{- 8 π^{2} (t - 1)} \sum_{n \geq 3} \frac{1}{n} e^{- (n^{2} - 1) π^{2}}$ と評価できるので、 $t \to \infty$ で $0$ に収束する。

以上より、極限は $\frac{4}{π}$ である。

検算として、 $t \to 0$ の側では級数が $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{4} = 1$ に収束する（ライプニッツ級数）ので、初期値 $1$ と整合する。

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