有界区間の熱方程式

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=x(1-x)(0\le x\le 1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によってこの問題の解 $u$ を求め、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<2,t>0),$$
$$u(0,t)=u(2,t)=0(t>0),u(x,0)=4{\sin }^3\frac{\pi x}{2}(0\le x\le 2)$$
を考える。この問題の解 $u$ を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて求め、$t>0$ における中点での値 $u(1,t)$ を $t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=1(0<x<1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によって得られる解 $u$ について、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対するノイマン境界条件付きの熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
の解を、変数分離法により余弦フーリエ級数で表されるものとする。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式のノイマン境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は、変数分離とフーリエ余弦級数によって得られる解とする。このとき
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }{\left(u(x,t)-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=2u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(\pi -x)(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の解を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて $u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{e}^{-2n^{2}t}\sin nx$ の形で求めたうえで、
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t)dxdt$$
の値を求めよ。ただし、必要なら $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$ を用いてよい。

$f$ を $[0,\pi ]$ 上の実数値連続関数とする。実数値関数 $u(x,t)$ は $[0,\pi ]\times [0,\infty )$ で連続であり、$[0,\pi ]\times (0,\infty )$ で $u_t,u_x,u_{xx}$ が存在して連続（$x=0,\pi$ では片側微分とする）で、
$$u_t=u_{xx}(0\le x\le \pi ,t>0),u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=f(x)(0\le x\le \pi )$$
をみたすとする。$\beta =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(y)\sin ydy$ とおくとき、
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\underset{0\le x\le \pi }{\sup }|e^{t}u(x,t)-\beta \sin x|=0$$
が成り立つことを示せ。

ただし、次の事実は用いてよい：$[0,\pi ]$ 上の連続関数 $g$ が、すべての正の整数 $n$ について ${\int }_0^{\pi }g(x)\sin nxdx=0$ をみたすならば、$g$ は $[0,\pi ]$ 上で恒等的に $0$ である。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=0,u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は変数分離とフーリエ級数で得られる解
$$u(x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{b}_k{e}^{-{\mu }_k^{2}t}\sin ({\mu }_{k}x),{\mu }_k=k+\frac{1}{2}$$
の形で表される（係数 $b_k$ は初期条件から定まる）。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }u(\pi ,t)dt$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する、左端が固定（ディリクレ条件）・右端が断熱（ノイマン条件）の熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=0,u_x(\pi ,t)=0(t>0),$$
$$u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。ここで $u$ は、境界条件をみたす固有関数による変数分離とフーリエ級数展開で得られる解とする（$t>0$ では級数は項別微分可能で滑らかな関数を定め、$t\to +0$ のとき $u(\cdot ,t)$ は $L^2(0,\pi )$ で初期値 $x$ に収束する）。このとき
$$J={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t{)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。