偏微分方程式の問題

$u=u(x,t)$ に対する、左端が固定（ディリクレ条件）・右端が断熱（ノイマン条件）の熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=0,u_x(\pi ,t)=0(t>0),$$
$$u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。ここで $u$ は、境界条件をみたす固有関数による変数分離とフーリエ級数展開で得られる解とする（$t>0$ では級数は項別微分可能で滑らかな関数を定め、$t\to +0$ のとき $u(\cdot ,t)$ は $L^2(0,\pi )$ で初期値 $x$ に収束する）。このとき
$$J={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t{)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=2u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(\pi -x)(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の解を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて $u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{e}^{-2n^{2}t}\sin nx$ の形で求めたうえで、
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t)dxdt$$
の値を求めよ。ただし、必要なら $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$ を用いてよい。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付き波動方程式（電信方程式）の初期値・境界値問題
$$u_{tt}+2u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=x(\pi -x),u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。変数分離法により $u$ を $\sin nx$（$n$ は正の整数）のフーリエ正弦級数
$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{T}_n(t)\sin nx$$
の形で求めたとき、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }u\left(\frac{\pi }{2},t\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^5}=\frac{5{\pi }^5}{1536}$ を用いてよい。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式のノイマン境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は、変数分離とフーリエ余弦級数によって得られる解とする。このとき
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }{\left(u(x,t)-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対するノイマン境界条件付きの熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
の解を、変数分離法により余弦フーリエ級数で表されるものとする。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。