フーリエ変換による解法と熱核

実数 $x$ と $t\ge 0$ に対して、関数 $u(x,t)$ についての熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$x$ についてのフーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$ と定める。フーリエ変換を用いて、この初期値問題の有界な解 $u(x,t)$（$t>0$）を $x,t$ の式で求めよ。

実数全体 $\mathbb{R}$ 上の熱方程式の初期値問題
$$u_t=u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は $\mathbb{R}\times [0,\infty )$ で連続かつ有界で、$t>0$ では $C^2$ 級の解とする。フーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。フーリエ変換を用いて、解 $u(x,t)$（$t>0$）を $x,t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t\ge 0$ に対して定義された関数 $u(x,t)$ についての熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は各 $t\ge 0$ で $x$ について急減少する（フーリエ変換が使える）滑らかな解とする。フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$ で定め、フーリエ変換を用いて解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t>0$ に対して、関数 $u(x,t)$ に関する熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。熱核
$$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-\frac{x^2}{4t}}$$
との畳み込み $u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(x-y,t)e^{-y^2}dy$ で与えられる解（有界な解）を、$x$ と $t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t>0$ に対して、関数 $u(x,t)$ は熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
の有界な解とする。フーリエ変換を用いて、$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

ただし、フーリエ変換とその逆変換は次で定める。
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$$
また、$a>0$ に対して ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}{e}^{-ix\xi }dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-{\xi }^2/(4a)}$ が成り立つことは用いてよい。

$x\in \mathbb{R}$, $t>0$ における熱方程式の初期値問題
$$u_t=u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は $\mathbb{R}\times [0,\infty )$ で連続かつ有界な古典解とする。フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$、逆変換を $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ と定める。フーリエ変換を用いて解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における作用素 $L=-\Delta +1$ を考える（$\Delta$ はラプラシアン、$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。超関数の意味で
$$(-\Delta +1)\Phi ={\delta }_0({\mathbb{R}}^3\text{ 上})$$
をみたし、$x\ne 0$ で $|x|$ のみに依存し、かつ $|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となる関数 $\Phi$ を $L$ の基本解とする。ここで ${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタである。

$B=\{y\in {\mathbb{R}}^3\mid |y|<1\}$ の定義関数を $f={\chi }_B$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
と定める。$u(2,0,0)$ の値を求めよ。