偏微分方程式の問題

${\mathbb{R}}^3$ において、作用素 $-\Delta +1$ の基本解を考える。すなわち、超関数の意味で
$$-\Delta \Phi +\Phi ={\delta }_0(\text{in }{\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3))$$
をみたし、$\Phi (x)$ は $|x|$ のみに依存し、$|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となるものを $\Phi$ とする（${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタ）。

単位閉球 $\overline{B}=\{y\in {\mathbb{R}}^3:|y|\le 1\}$ の定義関数を $f={\chi }_{\overline{B}}$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
とおく（$u$ は $-\Delta u+u=f$ の、無限遠で $0$ に減衰する解である）。点 $x_0=(2,0,0)$ における値 $u(x_0)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=\Delta u(x\in {\mathbb{R}}^3,t>0),u(x,0)=e^{-|x{|}^2},u_t(x,0)=0(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
を考える。ここで $\Delta$ は $x=(x_1,x_2,x_3)$ に関するラプラシアン、$|x|$ はユークリッドノルムであり、$u$ はこの問題のただ 1 つの $C^2$ 級の解とする。原点での値 $u(0,t)$ の $t>0$ における最小値を求めよ。

$k>0$ を定数とし、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の関数 $\Phi$ を
$$\Phi (x)=\frac{e^{-k|x|}}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
で定める。ここで $|x|$ はユークリッドノルム、$\Delta ={\sum }_{i=1}^3{\partial }^2/\partial x_i^2$ はラプラシアンである。$\Phi$ が作用素 $-\Delta +k^2$ の基本解であること、すなわち、${\mathbb{R}}^3$ 上の台がコンパクトな任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して、積分 ${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx$ が（ルベーグ積分として）絶対収束し、
$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx=\phi (0)$$
が成り立つことを示せ。ただし、有界な領域で成り立つグリーンの第 2 公式（ガウスの発散定理）と、ルベーグの優収束定理は用いてよい。

${\mathbb{R}}^3$ の開単位球を $B=\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid |x|<1\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (x)=\frac{1}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
とする。各 $y\in B$ に対して、$h^y\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$$\Delta h^y=0(\text{in }B),h^y(x)=\Phi (x-y)(x\in \partial B)$$
を満たす関数とし、$B$ におけるディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (x-y)-h^y(x)(x,y\in B,x\ne y)$$
で定める。$x_0=\left(0,0,\frac{1}{3}\right)$, $y_0=\left(0,0,-\frac{1}{2}\right)$ のとき、$G(x_0,y_0)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の上半空間を ${\mathbb{R}}_{+}^3=\{y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid y_3>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=\frac{1}{4\pi |z|}(z\in {\mathbb{R}}^3,z\ne 0)$$
とする（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。$x=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対し $x^{\ast }=(x_1,x_2,-x_3)$ とおき、鏡像法による ${\mathbb{R}}_{+}^3$ のディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi (y-x^{\ast })(x,y\in \overline{{\mathbb{R}}_{+}^3},x\ne y)$$
で定める。さらに $y^{\prime }=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$ に対し
$$K(x,y^{\prime })=\frac{\partial G}{\partial y_3}(x,y){|}_{y=(y_1,y_2,0)}$$
とおく。$x_0=(0,0,1)$ のとき、積分
$${\int }_{\{y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^2:|y^{\prime }|<1\}}K(x_0,y^{\prime })d{y}^{\prime }$$
の値を求めよ。