偏微分方程式の問題

$r=|x|$ とおき、$g(r)=\frac{e^{-kr}}{4\pi r}$ $(r>0)$ とすると $\Phi (x)=g(|x|)$ である。

ステップ 1：$x\ne 0$ で $-\Delta \Phi +k^2\Phi =0$ であること。

$C^2$ 級の $g$ に対して $f(x)=g(|x|)$ とおくと、$x\ne 0$ で $|x|$ は滑らかで ${\partial }_i|x|=x_i/r$ だから
$${\partial }_{i}f=g^{\prime }(r)\frac{x_i}{r},{\partial }_i^{2}f=g^{\prime \prime }(r)\frac{x_i^2}{r^2}+g^{\prime }(r)(\frac{1}{r}-\frac{x_i^2}{r^3}).$$
$i=1,2,3$ について和をとり $\sum x_i^2=r^2$ を使うと
$$\Delta f=g^{\prime \prime }(r)+\frac{2}{r}{g}^{\prime }(r)=\frac{1}{r}(rg(r){)}^{\prime \prime }$$
を得る（最後の等号は $(rg{)}^{\prime \prime }=r{g}^{\prime \prime }+2g^{\prime }$ による）。いまの $g$ では $rg(r)=\frac{e^{-kr}}{4\pi }$ なので $(rg{)}^{\prime \prime }=\frac{k^2{e}^{-kr}}{4\pi }$、したがって
$$\Delta \Phi (x)=\frac{k^2{e}^{-kr}}{4\pi r}=k^2\Phi (x)(x\ne 0).$$
すなわち ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ で $-\Delta \Phi +k^2\Phi =0$ である。また後で使うため
$$g^{\prime }(r)=-\frac{e^{-kr}(1+kr)}{4\pi r^2}$$
を計算しておく。

ステップ 2：積分の絶対収束。

$\phi$ の台はコンパクトなので、ある $R>0$ について $\mathrm{supp}\phi \subset B_R=\{|x|<R\}$ である。$\psi =-\Delta \phi +k^2\phi$ は連続で台が $\mathrm{supp}\phi$ に含まれるので、$M=\sup |\psi |<\infty$ である。$0<\Phi (x)\le \frac{1}{4\pi |x|}$ であり、極座標により
$${\int }_{B_R}\frac{dx}{4\pi |x|}={\int }_0^R\frac{1}{4\pi r}\cdot 4\pi r^{2}dr=\frac{R^2}{2}<\infty$$
だから、${\int }_{{\mathbb{R}}^3}|\Phi \psi |dx\le M{R}^2/2<\infty$ となり、積分 $I={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi \psi dx$ は絶対収束する。

さらに $0<\epsilon <R$ に対し $U_{\epsilon }=\{\epsilon <|x|<R\}$ とおくと、$|\Phi \psi 1_{U_{\epsilon }}|\le |\Phi \psi |$（可積分）で、各 $x\ne 0$ について $\epsilon \to 0$ のとき $1_{U_{\epsilon }}(x)\to 1_{B_R}(x)$ であり、$\psi$ は $B_R$ の外で $0$ だから、優収束定理より
$$I=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\int }_{U_{\epsilon }}\Phi \psi dx.(1)$$

ステップ 3：グリーンの第 2 公式の適用。

$U_{\epsilon }$ は滑らかな境界 $\partial U_{\epsilon }=\{|x|=R\}\cup \{|x|=\epsilon \}$ をもつ有界領域で、$\Phi ,\phi$ はともに $\overline{U_{\epsilon }}$ の近傍で $C^{\infty }$ 級である（$\Phi$ の特異点 $0$ は $\overline{U_{\epsilon }}$ に含まれない）。よってグリーンの第 2 公式より、外向き単位法線を $\nu$ として
$${\int }_{U_{\epsilon }}(\Phi \Delta \phi -\phi \Delta \Phi )dx={\int }_{\partial U_{\epsilon }}(\Phi \frac{\partial \phi }{\partial \nu }-\phi \frac{\partial \Phi }{\partial \nu })dS.$$
$\mathrm{supp}\phi$ は $B_R$ のコンパクト部分集合なので、$\phi$ と $\nabla \phi$ は球面 $|x|=R$ 上で $0$ であり、その部分の境界積分は消える。ステップ 1 より $U_{\epsilon }$ 上で $\Delta \Phi =k^2\Phi$ だから、
$${\int }_{U_{\epsilon }}\Phi (-\Delta \phi +k^2\phi )dx=-{\int }_{U_{\epsilon }}\Phi \Delta \phi dx+{\int }_{U_{\epsilon }}\phi \Delta \Phi dx=-{\int }_{|x|=\epsilon }(\Phi \frac{\partial \phi }{\partial \nu }-\phi \frac{\partial \Phi }{\partial \nu })dS.$$
ここで球面 $|x|=\epsilon$ 上の $U_{\epsilon }$ の外向き法線は原点を向く $\nu =-x/|x|$ である。よって
$${\int }_{U_{\epsilon }}\Phi \psi dx=-A_{\epsilon }+B_{\epsilon },A_{\epsilon }={\int }_{|x|=\epsilon }\Phi \frac{\partial \phi }{\partial \nu }dS,B_{\epsilon }={\int }_{|x|=\epsilon }\phi \frac{\partial \Phi }{\partial \nu }dS.(2)$$

ステップ 4：$A_{\epsilon }\to 0$。

$L=\sup |\nabla \phi |<\infty$ とすると $|\partial \phi /\partial \nu |\le L$。球面 $|x|=\epsilon$ の面積は $4\pi {\epsilon }^2$、その上で $\Phi =\frac{e^{-k\epsilon }}{4\pi \epsilon }$ だから
$$|A_{\epsilon }|\le \frac{e^{-k\epsilon }}{4\pi \epsilon }\cdot L\cdot 4\pi {\epsilon }^2=L\epsilon e^{-k\epsilon }\to 0(\epsilon \to +0).$$

ステップ 5：$B_{\epsilon }\to \phi (0)$。

$|x|=\epsilon$ 上で $\nabla \Phi =g^{\prime }(r)x/r$ だから
$$\frac{\partial \Phi }{\partial \nu }=\nabla \Phi \cdot (-\frac{x}{|x|})=-g^{\prime }(\epsilon )=\frac{e^{-k\epsilon }(1+k\epsilon )}{4\pi {\epsilon }^2}.$$
これは球面上で定数なので
$$B_{\epsilon }=e^{-k\epsilon }(1+k\epsilon )\cdot \frac{1}{4\pi {\epsilon }^2}{\int }_{|x|=\epsilon }\phi dS.$$
$\phi$ は $0$ で連続なので
$$|\frac{1}{4\pi {\epsilon }^2}{\int }_{|x|=\epsilon }\phi dS-\phi (0)|\le \frac{1}{4\pi {\epsilon }^2}{\int }_{|x|=\epsilon }|\phi (x)-\phi (0)|dS\le \underset{|y|=\epsilon }{\sup }|\phi (y)-\phi (0)|\to 0.$$
また $e^{-k\epsilon }(1+k\epsilon )\to 1$ だから $B_{\epsilon }\to \phi (0)$ である。

結論。 $(1)$, $(2)$ とステップ 4, 5 より
$$I=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(-A_{\epsilon }+B_{\epsilon })=\phi (0).$$
よって、台がコンパクトな任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して ${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (-\Delta \phi +k^2\phi )dx=\phi (0)$ が成り立ち、$\Phi$ は $-\Delta +k^2$ の基本解である。