偏微分方程式の問題

基本解の決定. $r=|x|>0$ で $\Phi =\varphi (r)$ は $-\Delta \Phi +\Phi =0$ をみたす。3 次元の動径ラプラシアンは $\Delta \varphi =\frac{1}{r}(r\varphi {)}^{\prime \prime }$ なので、$w=r\varphi$ とおくと $w^{\prime \prime }=w$。よって $\varphi (r)=\frac{a{e}^{-r}+b{e}^r}{r}$ となり、$r\to \infty$ で $0$ に収束することから $b=0$。

原点での特異性から $a$ を決める。半径 $\epsilon$ の球 $B_{\epsilon }$ 上で方程式を積分すると $-{\int }_{\partial B_{\epsilon }}{\partial }_r\Phi dS+{\int }_{B_{\epsilon }}\Phi dx=1$ が $\epsilon \to 0$ の極限で成り立つ必要がある。${\partial }_r\varphi =-a{e}^{-r}\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{r^2}\right)$ より $-{\int }_{\partial B_{\epsilon }}{\partial }_r\Phi dS=4\pi a{e}^{-\epsilon }(\epsilon +1)\to 4\pi a$。また ${\int }_{B_{\epsilon }}\Phi dx=O({\epsilon }^2)\to 0$。したがって $a=\frac{1}{4\pi }$ で、
$$\Phi (x)=\frac{e^{-|x|}}{4\pi |x|}.$$

球面上の積分. $|x|=\rho$, $0<r<\rho$ とし、球面 $S_r=\{|y|=r\}$ 上で $s=|x-y|$ とおく。$x$ 方向からの角を $\theta$ とすると $s^2={\rho }^2+r^2-2\rho r\cos \theta$ より $sds=\rho r\sin \theta d\theta$。面積要素は $dS=2\pi r^2\sin \theta d\theta =\frac{2\pi rs}{\rho }ds$ で、$s$ は $\rho -r$ から $\rho +r$ まで動く。よって
$${\int }_{S_r}\frac{e^{-|x-y|}}{|x-y|}d{S}_y=\frac{2\pi r}{\rho }{\int }_{\rho -r}^{\rho +r}{e}^{-s}ds=\frac{2\pi r}{\rho }\left(e^{-(\rho -r)}-e^{-(\rho +r)}\right)=\frac{4\pi r}{\rho }{e}^{-\rho }\sinh r.$$

$u$ の計算. $\rho \ge 1$ のとき、極座標で積分すると
$$u(x)=\frac{1}{4\pi }{\int }_0^1\frac{4\pi r}{\rho }{e}^{-\rho }\sinh rdr=\frac{e^{-\rho }}{\rho }{\int }_0^{1}r\sinh rdr.$$
部分積分により
$${\int }_0^{1}r\sinh rdr=[r\cosh r-\sinh r{]}_0^1=\cosh 1-\sinh 1=e^{-1}.$$
したがって $|x|\ge 1$ で $u(x)=\frac{e^{-|x|-1}}{|x|}$。

検算（常微分方程式による）. $u$ は動径関数で $C^1$ 級である。$r>1$ では $-\Delta u+u=0$ と減衰条件から $u=A{e}^{-r}/r$。$r<1$ では $-\Delta u+u=1$ と原点での有界性から $u=1+B\sinh r/r$。$r=1$ で値と微分を接続すると、
$$1+B\sinh 1=A{e}^{-1},B(\cosh 1-\sinh 1)=-2A{e}^{-1}.$$
第 2 式より $B=-2A$。これを第 1 式に代入すると $A(e^{-1}+2\sinh 1)=1$、すなわち $Ae=1$ となり $A=e^{-1}$。上の結果と一致する。

$x_0=(2,0,0)$ では $\rho =2$ なので
$$u(x_0)=\frac{e^{-3}}{2}.$$

基本解は $\Phi (x)=\frac{e^{-|x|}}{4\pi |x|}$ である。$f$ は球対称なので $u$ も動径関数 $u(r)$ で、$v=ru$ とおくと $-v^{\prime \prime }+v=rf$ となる。

$r>1$ では $v=A{e}^{-r}$（無限遠で減衰）。
$r<1$ では $v^{\prime \prime }-v=-r$ より $v=r+B\sinh r$（原点で $u$ が有界なので $v(0)=0$）。

$r=1$ で $v$ と $v^{\prime }$ が連続である条件は次の2式。
$1+B\sinh 1=A{e}^{-1}$
$1+B\cosh 1=-A{e}^{-1}$

2式を足すと $2+Be=0$ より $B=-2e^{-1}$。
これを第1式に入れると $A{e}^{-1}=1-2e^{-1}\sinh 1=1-(1-e^{-2})=e^{-2}$ なので $A=e^{-1}$。
よって $r>1$ で $u(r)=\frac{e^{-1-r}}{r}$。

検算（球面平均）：半径 $s$ の球面上での $\frac{e^{-|x-y|}}{|x-y|}$ の平均は $\frac{\sinh s}{s}\cdot \frac{e^{-r}}{r}$ である。
これを使うと $u=\frac{1}{4\pi }{\int }_0^{1}4\pi s^2\frac{\sinh s}{s}ds\cdot \frac{e^{-r}}{r}$。
${\int }_0^{1}s\sinh sds=[s\cosh s-\sinh s{]}_0^1=\cosh 1-\sinh 1=e^{-1}$ なので、同じ結果 $\frac{e^{-1-r}}{r}$ になる。

$r=2$ を代入して $u(x_0)=\frac{e^{-3}}{2}$。