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偏微分方程式の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学偏微分方程式

平面の円環領域 $D = {(x, y) \in R^{2} : 1 < x^{2} + y^{2} < 4}$ において、ディリクレ問題
$Δ u = u_{xx} + u_{y y} = 0 ((x, y) \in D),$
$u (x, y) = x^{2} (x^{2} + y^{2} = 1), u (x, y) = 0 (x^{2} + y^{2} = 4)$
を考える。 $u$ は $D$ で $C^{2}$ 級、 $D$ で連続な解とする（このような解はただ 1 つである）。このとき $u (2, 0)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

ラプラス方程式（説明と入口の問題）
変数分離法（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

極座標に直し、内側の境界値 $x^{2} = cos^{2} θ$ をフーリエ級数（倍角の公式）で展開しましょう。

ヒント 2

$cos^{2} θ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 θ$ です。円環でのラプラス方程式の解として、定数モード $A + B lo g r$ と $(C r^{2} + D r^{- 2}) cos 2 θ$ を組み合わせます。

ヒント 3

定数モードは $\frac{1}{2} (1 - \frac{l o g r}{l o g 2})$ です。 $cos 2 θ$ モードの係数は $C + D = \frac{1}{2}, 4 C + \frac{D}{4} = 0$ から決まります。

答えと解説

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\frac{9}{20}

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解説を読む

極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ を用いる。内側の円周 $r = 1$ 上では
$u = cos^{2} θ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 θ,$
外側の円周 $r = 2$ 上では $u = 0$ である。

ラプラス方程式 $u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r} + \frac{1}{r ^{2}} u_{θ θ} = 0$ の変数分離解のうち、境界データに現れるモードは
- $θ$ によらない解: $A + B lo g r$
- $cos 2 θ$ の解: $(C r^{2} + D r^{- 2}) cos 2 θ$

である。そこで $u = A + B lo g r + (C r^{2} + D r^{- 2}) cos 2 θ$ とおき、境界条件を満たすように係数を決める。

定数モード. $A = \frac{1}{2}$ 、 $A + B lo g 2 = 0$ より $B = - \frac{1}{2 lo g 2}$ 。

$cos 2 θ$ モード.
$C + D = \frac{1}{2}, 4 C + \frac{D}{4} = 0.$
第 2 式より $D = - 16 C$ 、第 1 式に代入して $- 15 C = \frac{1}{2}$ 、よって $C = - \frac{1}{30}$ 、 $D = \frac{8}{15}$ 。

したがって
$u (r, θ) = \frac{1}{2} (1 - \frac{lo g r}{lo g 2}) + (- \frac{r ^{2}}{30} + \frac{8}{15 r ^{2}}) cos 2 θ .$
これは $D$ で調和、 $D$ で連続で境界条件を満たすので、最大値原理による一意性から求める解である。

点 $(2, 0)$ は $r = 2$ 、 $θ = 0$ に対応する。 $lo g 2 = \frac{1}{2} lo g 2$ より
$\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}, - \frac{2}{30} + \frac{8}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} .$
よって
$u (2, 0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20} .$

別解

極座標 $(r, θ)$ で考える。内周 $r = 1$ 上で $u = cos^{2} θ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 θ$ 、外周 $r = 2$ 上で $u = 0$ 。調和関数の変数分離解から $u = a + b lo g r + (c r^{2} + d r^{- 2}) cos 2 θ$ の形に求める（ $D$ は原点を含まないので $lo g r$ , $r^{- 2}$ を許す）。
定数項（ $θ$ によらない部分）: $r = 1$ で $a = \frac{1}{2}$ 、 $r = 2$ で $a + b lo g 2 = 0$ より $b = - \frac{1}{2 l o g 2}$ 。
$cos 2 θ$ の係数: $r = 1$ で $c + d = \frac{1}{2}$ 、 $r = 2$ で $4 c + \frac{d}{4} = 0$ より $d = - 16 c$ 、 $- 15 c = \frac{1}{2}$ 、 $c = - \frac{1}{30}$ 、 $d = \frac{8}{15}$ 。
よって $u = \frac{1}{2} - \frac{l o g r}{2 l o g 2} + (- \frac{r ^{2}}{30} + \frac{8}{15 r ^{2}}) cos 2 θ$ 。
$(2, 0)$ では $r = 2$ , $θ = 0$ : 第 2 項は $- \frac{\frac{1}{2} l o g 2}{2 l o g 2} = - \frac{1}{4}$ 、よって定数部分は $\frac{1}{4}$ 。 $cos 2 θ$ 部分は $- \frac{2}{30} + \frac{8}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ 。合計 $u (2, 0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20}$ 。
検算: $r = 1$ で $\frac{1}{2} + (- \frac{1}{30} + \frac{16}{30}) cos 2 θ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 θ$ ✓。 $r = 2$ で $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ 、 $- \frac{4}{30} + \frac{8}{60} = 0$ ✓。

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