偏微分方程式の問題

一意性. 最大値原理より、有界領域上のディリクレ問題の $C^2(A)\cap C(\overline{A})$ に属する解は一意である。したがって、条件を満たす調和関数を $1$ つ構成すればよい。

極座標での境界値. $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ とする。
- $r=1$ では $2x^2=2{\cos }^2\theta =1+\cos 2\theta$。
- $r=2$ では $\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}\cdot 2\sin \theta =3\sin \theta$。

変数分離解. 極座標でラプラス方程式は $u_{rr}+\frac{1}{r}{u}_r+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta \theta }=0$ であり、円環上の調和関数として
$$1,\log r,r^n\cos n\theta ,r^{-n}\cos n\theta ,r^n\sin n\theta ,r^{-n}\sin n\theta (n=1,2,\dots )$$
がある。境界値に現れる成分は定数・$\cos 2\theta$・$\sin \theta$ だけなので
$$u=(\alpha +\beta \log r)+(a{r}^2+b{r}^{-2})\cos 2\theta +(cr+d{r}^{-1})\sin \theta$$
とおき、各成分ごとに係数を決める。

• 定数成分: $r=1$ で $1$、$r=2$ で $0$。$\alpha =1$、$1+\beta \log 2=0$ より $\beta =-\frac{1}{\log 2}$。
• $\cos 2\theta$ 成分: $r=1$ で $1$、$r=2$ で $0$。$a+b=1$、$4a+\frac{b}{4}=0$ より $b=-16a$、$-15a=1$ なので $a=-\frac{1}{15}$、$b=\frac{16}{15}$。
• $\sin \theta$ 成分: $r=1$ で $0$、$r=2$ で $3$。$c+d=0$、$2c+\frac{d}{2}=3$ より $\frac{3}{2}c=3$、$c=2$、$d=-2$。

よって
$$u=1-\frac{\log r}{\log 2}+\frac{16r^{-2}-r^2}{15}\cos 2\theta +2\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin \theta .$$
これは $\overline{A}$ で連続、$A$ で調和で、境界条件を満たす。

値の計算. 点 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ は $r=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{2}{4}}=\sqrt{2}$、$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta =\frac{1}{2}$ より $\theta =\frac{\pi }{6}$ である。
- $1-\frac{\log \sqrt{2}}{\log 2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
- $\frac{16\cdot \frac{1}{2}-2}{15}\cos \frac{\pi }{3}=\frac{6}{15}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$。
- $2\left(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

合計して
$$u\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7}{10}+\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ を用いる。境界条件は $r=1$ で $u=2{\cos }^2\theta =1+\cos 2\theta$、$r=2$ で $u=\frac{3}{2}\cdot 2\sin \theta =3\sin \theta$。

円環での調和関数の一般形 $u=a_0+b_0\log r+{\sum }_{n\ge 1}[(c_n{r}^n+d_n{r}^{-n})\cos n\theta +(e_n{r}^n+f_n{r}^{-n})\sin n\theta ]$ から、必要な項だけを決める（ディリクレ問題の解は最大値原理により一意）。

定数項: $a_0=1$, $a_0+b_0\log 2=0$ より $b_0=-\frac{1}{\log 2}$。

$\sin \theta$ の項: $e_1+f_1=0$, $2e_1+\frac{f_1}{2}=3$ より $e_1=2,f_1=-2$。

$\cos 2\theta$ の項: $c_2+d_2=1$, $4c_2+\frac{d_2}{4}=0$ より $d_2=-16c_2$, $c_2=-\frac{1}{15}$, $d_2=\frac{16}{15}$。

よって $u=1-\frac{\log r}{\log 2}+\left(2r-\frac{2}{r}\right)\sin \theta +\left(-\frac{r^2}{15}+\frac{16}{15r^2}\right)\cos 2\theta$。

検算: $r=1$ で $1+0+1\cdot \cos 2\theta$、$r=2$ で $0+3\sin \theta +(-\frac{4}{15}+\frac{4}{15})\cos 2\theta =3\sin \theta$。正しい。

点 $(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ では $r^2=2$, $r=\sqrt{2}$, $\theta =\frac{\pi }{6}$, $\sin \theta =\frac{1}{2}$, $\cos 2\theta =\frac{1}{2}$。

• 定数部: $1-\frac{\frac{1}{2}\log 2}{\log 2}=\frac{1}{2}$
• $\sin$ 部: $(2\sqrt{2}-\sqrt{2})\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 2\theta$ 部: $(-\frac{2}{15}+\frac{8}{15})\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$

合計 $u=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7}{10}+\frac{\sqrt{2}}{2}$。