偏微分方程式の問題

1. 変数分離. $u(x,y)=X(x)Y(y)$ とおくと $\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\frac{Y^{\prime \prime }}{Y}=-\lambda$（定数）。$X(0)=X(\pi )=0$ のもとで $X^{\prime \prime }=-\lambda X$ が自明でない解をもつのは $\lambda =n^2$（$n$ は正の整数）のときで、$X_n(x)=\sin nx$。

2. $y$ 方向. $Y^{\prime \prime }=n^{2}Y$, $Y(0)=0$ より $Y_n(y)=\sinh ny$（定数倍を除く）。よって
$$u(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n\sinh (ny)\sin nx.$$

3. 係数の決定. $y=1$ で $\sum c_n\sinh n\sin nx=\sin x+\sin 3x$ となる必要があり、正弦関数の直交性から $c_1\sinh 1=1$, $c_3\sinh 3=1$、ほかの $c_n=0$。したがって
$$u(x,y)=\frac{\sinh y}{\sinh 1}\sin x+\frac{\sinh 3y}{\sinh 3}\sin 3x.$$
これは有限和なので $C^2$ 級で、方程式と境界条件をすべて満たす。

4. 値の計算. $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ と、倍角公式 $\sinh 2a=2\sinh a\cosh a$ を用いると
$$u\left(\frac{\pi }{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{\sinh \frac{1}{2}}{\sinh 1}-\frac{\sinh \frac{3}{2}}{\sinh 3}=\frac{1}{2\cosh \frac{1}{2}}-\frac{1}{2\cosh \frac{3}{2}}.$$
指数関数で書けば $\frac{1}{e^{1/2}+e^{-1/2}}-\frac{1}{e^{3/2}+e^{-3/2}}$ である。

$u=X(x)Y(y)$ とおくと境界条件 $X(0)=X(\pi )=0$ より $X_n=\sin nx$、$Y_n^{\prime \prime }=n^2{Y}_n$、$Y_n(0)=0$ から $Y_n=\sinh ny$。よって $u=\sum c_n\sinh (ny)\sin nx$。$y=1$ で $\sum c_n\sinh n\sin nx=\sin x+\sin 3x$ なので、正弦級数の一意性から $c_1=\frac{1}{\sinh 1}$、$c_3=\frac{1}{\sinh 3}$、他は 0。\n$$u(x,y)=\frac{\sinh y}{\sinh 1}\sin x+\frac{\sinh 3y}{\sinh 3}\sin 3x.$$\n$(x,y)=(\pi /2,1/2)$: $\sin \frac{\pi }{2}=1$、$\sin \frac{3\pi }{2}=-1$。したがって\n$u=\frac{\sinh \frac{1}{2}}{\sinh 1}-\frac{\sinh \frac{3}{2}}{\sinh 3}$。$\sinh 1=2\sinh \frac{1}{2}\cosh \frac{1}{2}$、$\sinh 3=2\sinh \frac{3}{2}\cosh \frac{3}{2}$ より $u=\frac{1}{2\cosh \frac{1}{2}}-\frac{1}{2\cosh \frac{3}{2}}=\frac{1}{e^{1/2}+e^{-1/2}}-\frac{1}{e^{3/2}+e^{-3/2}}$。\n\n検算: 数値で $\sinh 0.5\approx 0.52110$、$\sinh 1\approx 1.17520$ → $0.44340$；$\sinh 1.5\approx 2.12928$、$\sinh 3\approx 10.01787$ → $0.21255$。差は約 $0.2309$。$\frac{1}{2\cosh 0.5}=\frac{1}{2.25525}=0.44340$、$\frac{1}{2\cosh 1.5}=\frac{1}{4.70482}=0.21254$ で一致。$y=0$ で $u=0$、$y=1$ で $\sin x+\sin 3x$、ラプラス方程式は各項 $-n^2+n^2=0$ で成り立つ。