偏微分方程式の問題

手順 1：極座標で変数分離する。 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ とすると、ラプラス方程式は
$$u_{rr}+\frac{1}{r}{u}_r+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta \theta }=0$$
となる。$u=R(r)\Theta (\theta )$ とおくと
$$\frac{r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }}{R}=-\frac{{\Theta }^{\prime \prime }}{\Theta }=\lambda$$
と分かれる。$\Theta$ は周期 $2\pi$ をもつ必要があるので、$\lambda =n^2(n=0,1,2,\dots )$ で、$\Theta =\cos n\theta ,\sin n\theta$ である。

手順 2：動径方向を解く。 $r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }-n^{2}R=0$ の解は、$n\ge 1$ のとき $R=r^n,r^{-n}$、$n=0$ のとき $R=1,\log r$ である。原点で $u$ が連続（有界）であるためには $r^{-n}$ と $\log r$ は使えない。したがって
$$u=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{r}^n(a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta ).$$

手順 3：境界条件をフーリエ級数の形に直す。 半角の公式より $8{\sin }^2\theta =4-4\cos 2\theta$ だから、境界値は
$$4+4\cos \theta -4\cos 2\theta$$
となる。これはすでに有限のフーリエ級数である。

手順 4：係数を比べる。 $r=2$ を代入して係数を比較すると
$$\frac{a_0}{2}=4,2a_1=4,4a_2=-4$$
となり、ほかの係数はすべて $0$ である。よって $a_1=2,a_2=-1$ で、極座標で表すと
$$u=4+2r\cos \theta -r^2\cos 2\theta .$$

手順 5：直交座標に戻して値を求める。 $r\cos \theta =x$、$r^2\cos 2\theta =r^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )=x^2-y^2$ だから
$$u(x,y)=4+2x-x^2+y^2$$
である。これは $u_{xx}+u_{yy}=-2+2=0$ を満たす。また、$x=2\cos \theta ,y=2\sin \theta$ を代入すると $4+4\cos \theta -4\cos 2\theta =8{\sin }^2\theta +4\cos \theta$ となり、境界条件も満たしている。点 $(x,y)=(1,\frac{1}{2})$ は $D$ の内部にあり（$1+\frac{1}{4}<4$）、
$$u\left(1,\frac{1}{2}\right)=4+2\cdot 1-1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=4+2-1+\frac{1}{4}=\frac{21}{4}.$$

境界値を展開する。$8{\sin }^2\theta =4(1-\cos 2\theta )=4-4\cos 2\theta$ なので、境界値は $4+4\cos \theta -4\cos 2\theta$。

半径 $R=2$ の円板での調和関数は $u=a_0+\sum (r/2{)}^n(a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta )$ の形に書ける。境界値と比較して、
$$u=4+4(r/2)\cos \theta -4(r/2{)}^2\cos 2\theta =4+2r\cos \theta -r^2\cos 2\theta .$$

直交座標に直す。$r\cos \theta =x$、$r^2\cos 2\theta =x^2-y^2$ より、
$$u=4+2x-(x^2-y^2)=4+2x-x^2+y^2.$$

検算：$u_{xx}=-2$、$u_{yy}=2$ なので、和は 0 となり調和である。境界 $r=2$ では $4+4\cos \theta -4\cos 2\theta$ となり、境界条件に一致する。

$(x,y)=(1,1/2)$ での値は、
$$u=4+2-1+\frac{1}{4}=\frac{21}{4}.$$