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偏微分方程式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学偏微分方程式

平面の円板 $D = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} < 4}$ において、関数 $u \in C^{2} (D) \cap C (D)$ がディリクレ問題
$u_{xx} + u_{y y} = 0 ((x, y) \in D),$
$u (2 cos θ, 2 sin θ) = sin^{3} θ (0 \leq θ < 2 π)$
を満たすとする。極座標による変数分離を用いて $u$ を求め、点 $(0, 1)$ における値 $u (0, 1)$ を求めよ。

この問題で使うもの

ラプラス方程式（説明と入口の問題）
多変数の連鎖律（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

円板でのラプラス方程式の境界値問題なので、極座標 $(r, θ)$ に直して変数分離 $u = R (r) Θ (θ)$ を使う。

ヒント 2

$Θ$ が周期 $2 π$ をもち、 $R$ が原点で有界であることから、解は $\frac{a _{0}}{2} + \sum r^{n} (a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ)$ の形になる。境界値は $sin^{3} θ = \frac{3}{4} sin θ - \frac{1}{4} sin 3 θ$ と書き直せる。

ヒント 3

$r = 2$ で係数を比べると $2 b_{1} = \frac{3}{4}, 8 b_{3} = - \frac{1}{4}$ となり、 $u = \frac{3}{8} r sin θ - \frac{1}{32} r^{3} sin 3 θ$ が得られる。あとは $r = 1, θ = \frac{π}{2}$ を代入する。

答えと解説

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\frac{13}{32}

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解説を読む

方針：極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ でラプラス方程式を書き直し、変数分離で解の形を求めてから境界条件に合わせる。

1. 極座標でのラプラス方程式
多変数の連鎖律により、ラプラス方程式は
$u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r} + \frac{1}{r ^{2}} u_{θ θ} = 0$
となる。

2. 変数分離
$u = R (r) Θ (θ)$ とおいて代入し、両辺に $\frac{r ^{2}}{R Θ}$ を掛けると
$\frac{r ^{2} R ^{''} + r R ^{'}}{R} = - \frac{Θ ^{''}}{Θ} = λ (定数)$
となる。
- $Θ^{''} + λ Θ = 0$ で、 $Θ$ は周期 $2 π$ をもたなければならない。0 でない周期解をもつのは $λ = n^{2} (n = 0, 1, 2, \dots)$ のときで、そのとき $Θ = a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ$ である。
- $r^{2} R^{''} + r R^{'} - n^{2} R = 0$ は $R = r^{k}$ とおくと $k^{2} = n^{2}$ となる。原点で有界（連続）な解だけを残すと、 $n \geq 1$ では $R = r^{n}$ 、 $n = 0$ では $R =$ 定数である（ $r^{- n}$ と $lo g r$ は原点で発散するので捨てる）。

よって解は
$u (r, θ) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty r^{n} (a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ)$
の形に書ける。

3. 境界条件を合わせる
3 倍角の公式 $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ より
$sin^{3} θ = \frac{3}{4} sin θ - \frac{1}{4} sin 3 θ .$
$r = 2$ で $u (2, θ) = sin^{3} θ$ となるように係数を比べると
$2 b_{1} = \frac{3}{4}, 2^{3} b_{3} = - \frac{1}{4}$
で、ほかの係数はすべて 0 である。すなわち $b_{1} = \frac{3}{8}, b_{3} = - \frac{1}{32}$ であり、
$u (r, θ) = \frac{3}{8} r sin θ - \frac{1}{32} r^{3} sin 3 θ .$

4. 点 $(0, 1)$ での値
点 $(0, 1)$ は $r = 1, θ = \frac{π}{2}$ である。 $sin \frac{π}{2} = 1$ 、 $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ より
$u (0, 1) = \frac{3}{8} - \frac{1}{32} \cdot (- 1) = \frac{12}{32} + \frac{1}{32} = \frac{13}{32} .$

（確認：直交座標に直すと $r^{3} sin 3 θ = 3 x^{2} y - y^{3}$ なので $u = \frac{12 y - 3 x ^{2} y + y ^{3}}{32}$ である。これは $u_{xx} + u_{y y} = \frac{- 6 y + 6 y}{32} = 0$ を満たす。また $u (0, 1) = \frac{13}{32}$ となり、上の結果と一致する。）

答え： $\frac{13}{32}$

別解

境界値は $sin^{3} θ = \frac{3 s i n θ - s i n 3 θ}{4}$ と書ける。
極座標 $(r, θ)$ で変数分離すると、有界な調和関数の基本解は $r^{n} sin n θ, r^{n} cos n θ$ である。半径 $2$ の円周上で境界値に合わせるため、
$u = A r sin θ + B r^{3} sin 3 θ$ とおく。
$r = 2$ では $2 A sin θ + 8 B sin 3 θ = \frac{3}{4} sin θ - \frac{1}{4} sin 3 θ$ となる。
よって $A = \frac{3}{8}$ 、 $B = - \frac{1}{32}$ 。
ゆえに $u = \frac{3}{8} r sin θ - \frac{1}{32} r^{3} sin 3 θ$ 。
直交座標では $r sin θ = y$ 、 $r^{3} sin 3 θ = 3 x^{2} y - y^{3}$ なので、
$u = \frac{3}{8} y - \frac{1}{32} (3 x^{2} y - y^{3})$ 。
点 $(0, 1)$ では $u = \frac{3}{8} + \frac{1}{32} = \frac{12}{32} + \frac{1}{32} = \frac{13}{32}$ 。
検算：境界 $(0, 2)$ で $u = \frac{3}{4} + \frac{8}{32} = 1 = sin^{3} (π /2)$ となり一致する。調和性は、 $3 x^{2} y - y^{3}$ が $Im (x + i y)^{3}$ であることから従う。

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