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偏微分方程式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学偏微分方程式

$u = u (x, t)$ に対する両端固定の弦の波動方程式の初期値・境界値問題
$u_{tt} = u_{xx} (0 < x < π, t > 0),$
$u (0, t) = u (π, t) = 0 (t \geq 0),$
$u (x, 0) = sin^{3} x, u_{t} (x, 0) = sin 2 x (0 \leq x \leq π)$
の解 $u \in C^{2} ([0, π] \times [0, \infty))$ について、 $u (\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

波動方程式（説明と入口の問題）
変数分離法（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

境界条件をみたす変数分離解 $sin n x (a_{n} cos n t + b_{n} sin n t)$ の重ね合わせで解を表し、初期条件から係数を決める。（ダランベールの公式を奇周期拡張とともに使ってもよい。）

ヒント 2

$sin^{3} x = \frac{3}{4} sin x - \frac{1}{4} sin 3 x$ と書けるので、初期変位は有限個のモードの和になる。初速度 $sin 2 x$ からは $2 b_{2} = 1$ が得られる。

ヒント 3

$u (x, t) = \frac{3}{4} sin x cos t - \frac{1}{4} sin 3 x cos 3 t + \frac{1}{2} sin 2 x sin 2 t$ となる。これに $x = t = \frac{π}{4}$ を代入する。

答えと解説

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解説を読む

変数分離による解. 境界条件 $u (0, t) = u (π, t) = 0$ をみたす変数分離解は $sin n x (a_{n} cos n t + b_{n} sin n t)$ $(n = 1, 2, \dots)$ であるから、解を
$u (x, t) = n = 1 \sum \infty sin n x (a_{n} cos n t + b_{n} sin n t)$
の形で求める。

初期変位について、3 倍角の公式 $sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x$ より
$sin^{3} x = \frac{3}{4} sin x - \frac{1}{4} sin 3 x$
なので、 $u (x, 0) = \sum a_{n} sin n x$ と比べて $a_{1} = \frac{3}{4}$ , $a_{3} = - \frac{1}{4}$ , それ以外の $a_{n} = 0$ 。

初速度について、 $u_{t} (x, 0) = \sum n b_{n} sin n x = sin 2 x$ より $2 b_{2} = 1$ 、すなわち $b_{2} = \frac{1}{2}$ , それ以外の $b_{n} = 0$ 。

したがって
$u (x, t) = \frac{3}{4} sin x cos t - \frac{1}{4} sin 3 x cos 3 t + \frac{1}{2} sin 2 x sin 2 t .$
これは有限和なので項別微分に問題はなく、方程式・境界条件・初期条件をすべてみたす。また、エネルギー法によりこの問題の $C^{2}$ 解は一意であるから、これが求める解である。

値の計算. $x = t = \frac{π}{4}$ を代入する。
- $\frac{3}{4} sin \frac{π}{4} cos \frac{π}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{8}$
- $- \frac{1}{4} sin \frac{3 π}{4} cos \frac{3 π}{4} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} \cdot (- \frac{2}{2}) = \frac{1}{8}$
- $\frac{1}{2} sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = \frac{1}{2}$

よって
$u (\frac{π}{4}, \frac{π}{4}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = 1.$

別解（ダランベールの公式）. $f (x) = sin^{3} x$ , $g (x) = sin 2 x$ はともに奇関数かつ周期 $2 π$ なので、これらを $R$ 全体の関数とみてダランベールの公式
$u (x, t) = \frac{f ( x + t ) + f ( x - t )}{2} + \frac{1}{2} \int_{x - t}^{x + t} g (s) d s$
を用いると、境界条件も自動的にみたされる。 $x = t = \frac{π}{4}$ では
$u = \frac{sin ^{3} \frac{π}{2} + sin ^{3} 0}{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} sin 2 s d s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} [- \frac{cos 2 s}{2}]_{0}^{π /2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 = 1$
となり、一致する。

別解

変数分離（フーリエ正弦展開）で解く。境界条件 $u (0, t) = u (π, t) = 0$ より $u (x, t) = \sum_{n \geq 1} (a_{n} cos n t + b_{n} sin n t) sin n x$ 。

初期条件の $sin^{3} x$ を三倍角の公式で展開すると $sin^{3} x = \frac{3 sin x - sin 3 x}{4}$ 。よって $a_{1} = \frac{3}{4}, a_{3} = - \frac{1}{4}$ 、ほかの $a_{n} = 0$ 。

$u_{t} (x, 0) = \sum n b_{n} sin n x = sin 2 x$ より $2 b_{2} = 1$ 、すなわち $b_{2} = \frac{1}{2}$ 、ほかの $b_{n} = 0$ 。

以上から
$u (x, t) = \frac{3}{4} sin x cos t - \frac{1}{4} sin 3 x cos 3 t + \frac{1}{2} sin 2 x sin 2 t .$
（有限和なので $C^{2}$ であり、波動方程式・境界条件・初期条件を満たす。この解は一意である。）

$x = t = π /4$ を代入する。
- $sin \frac{π}{4} cos \frac{π}{4} = \frac{1}{2}$ なので、第1項は $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ 。
- $sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}$ 、 $cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2}$ なので、第2項は $- \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$ 。
- $sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = 1$ なので、第3項は $\frac{1}{2}$ 。

合計は $\frac{3}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2} = 1$ 。

検算: $t = 0$ のとき $u = \frac{3}{4} sin x - \frac{1}{4} sin 3 x = sin^{3} x$ で、 $u_{t} (x, 0) = sin 2 x$ となり、初期条件を満たす。

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