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偏微分方程式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学偏微分方程式

上半平面 $H = {(x, y) \in R^{2} : y > 0}$ におけるラプラス方程式のディリクレ問題
$u_{xx} + u_{y y} = 0 ((x, y) \in H), u (x, 0) = g (x) = {10 (∣ x ∣ < 1) (∣ x ∣ > 1)$
を考える。 $u$ は $H$ で有界な調和関数で、 $x \neq = \pm 1$ である境界点 $(x, 0)$ において連続に境界値 $g (x)$ をとるものとする（このような解はただ 1 つである）。 $H$ のディリクレ境界条件に対するグリーン関数（鏡像法で得られるもの）から導かれるポアソン核を用いて、 $u (1, 1)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

ラプラス方程式（説明と入口の問題）
偏微分方程式の用語と解の確認（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 次元の基本解 $- \frac{1}{2 π} lo g ∣ z ∣$ と鏡像法で上半平面のグリーン関数を作り、その法線微分からポアソン核を求めましょう。

ヒント 2

上半平面のポアソン核は $P (ξ, η; t) = \frac{1}{π} \frac{η}{( t - ξ ) ^{2} + η ^{2}}$ で、 $u (ξ, η) = \int P g d t$ です。

ヒント 3

$u (ξ, η) = \frac{1}{π} (arctan \frac{1 - ξ}{η} + arctan \frac{1 + ξ}{η})$ となります。 $(ξ, η) = (1, 1)$ を代入しましょう。

答えと解説

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\frac{arctan 2}{π}

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解説を読む

グリーン関数. 2 次元ラプラス作用素 $- Δ$ の基本解は $Φ (z) = - \frac{1}{2 π} lo g ∣ z ∣$ である。点 $w = (ξ, η) \in H$ の $x$ 軸に関する鏡像を $w^{*} = (ξ, - η)$ とすると、 $H$ のディリクレ・グリーン関数は
$G (z, w) = Φ (z - w) - Φ (z - w^{*}) = \frac{1}{2 π} lo g \frac{∣ z - w ^{*} ∣}{∣ z - w ∣}$
で、 $z$ が $x$ 軸上にあるとき $∣ z - w ∣ = ∣ z - w^{*} ∣$ なので $G = 0$ となる。

ポアソン核. 調和関数 $u$ は境界上の外向き法線微分を用いて $u (w) = - \int_{\partial H} u \frac{\partial G}{\partial ν} d S$ と表される。外向き法線は $- y$ 方向なので $- \frac{\partial G}{\partial ν} = \frac{\partial G}{\partial y}_{y = 0}$ 。 $z = (t, y)$ として計算すると
$\frac{\partial G}{\partial y}_{y = 0} = \frac{1}{2 π} (\frac{η}{( t - ξ ) ^{2} + η ^{2}} + \frac{η}{( t - ξ ) ^{2} + η ^{2}}) = \frac{1}{π} \frac{η}{( t - ξ ) ^{2} + η ^{2}} .$
よって
$u (ξ, η) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{η}{( t - ξ ) ^{2} + η ^{2}} g (t) d t .$
この積分は有界な調和関数を与え、 $g$ の連続点で境界値 $g$ をとるので、一意性から求める解である。

計算. $g$ を代入すると
$u (ξ, η) = \frac{1}{π} \int_{- 1}^{1} \frac{η}{( t - ξ ) ^{2} + η ^{2}} d t = \frac{1}{π} [arctan \frac{t - ξ}{η}]_{t = - 1}^{t = 1} = \frac{1}{π} (arctan \frac{1 - ξ}{η} + arctan \frac{1 + ξ}{η}) .$
$(ξ, η) = (1, 1)$ とすると
$u (1, 1) = \frac{1}{π} (arctan 0 + arctan 2) = \frac{arctan 2}{π} .$

別解

上半平面のポアソン核は $P (x - s, y) = \frac{1}{π} \frac{y}{( x - s ) ^{2} + y ^{2}}$ （鏡像法のグリーン関数 $G$ の法線微分）。よって $u (x, y) = \frac{1}{π} \int_{- 1}^{1} \frac{y}{( x - s ) ^{2} + y ^{2}} d s$ 。 $\int \frac{y d s}{( x - s ) ^{2} + y ^{2}} = - arctan \frac{x - s}{y}$ より $u (x, y) = \frac{1}{π} [arctan \frac{x + 1}{y} - arctan \frac{x - 1}{y}]$ 。 $(x, y) = (1, 1)$ で $arctan 2 - arctan 0 = arctan 2$ 。したがって $u (1, 1) = \frac{a r c t a n 2}{π}$ 。
検算: 幾何的には $u$ は点 $(1, 1)$ から線分 $[- 1, 1]$ を見込む角を $π$ で割ったもの。点 $(1, 1)$ から $(- 1, 0)$ の方向と $(1, 0)$ の方向（真下）のなす角は $arctan (2/1)$ であり一致する。有界性・境界値（ $∣ x ∣ < 1$ で $y \to 0$ のとき見込む角 $\to π$ で $u \to 1$ 、 $∣ x ∣ > 1$ で $u \to 0$ ）も満たす。数値は $arctan 2 \approx 1.1071$ なので $u \approx 0.3524$ 。

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