偏微分方程式の問題

$u$ を ${\mathbb{R}}^2$ 上の実数値 $C^1$ 級関数とし、
$$x{u}_x(x,y)+y{u}_y(x,y)=u(x,y)((x,y)\in {\mathbb{R}}^2)$$
をみたすとする。このとき、$a=u_x(0,0)$, $b=u_y(0,0)$ とおくと、すべての $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ について
$$u(x,y)=ax+by$$
が成り立つことを示せ。

上半平面 $H=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:y>0\}$ におけるラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in H),u(x,0)=g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|<1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
を考える。$u$ は $H$ で有界な調和関数で、$x\ne \pm 1$ である境界点 $(x,0)$ において連続に境界値 $g(x)$ をとるものとする（このような解はただ 1 つである）。$H$ のディリクレ境界条件に対するグリーン関数（鏡像法で得られるもの）から導かれるポアソン核を用いて、$u(1,1)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の開単位円板を $B=\{x\in {\mathbb{R}}^2\mid |x|<1\}$ とし（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (x)=-\frac{1}{2\pi }\log |x|(x\ne 0)$$
とする。$x\in B$ に対し、関数 $h_x\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$${\Delta }_y{h}_x(y)=0(y\in B),h_x(y)=\Phi (y-x)(y\in \partial B)$$
をみたすもの（最大値原理により一意に定まる）とし、$B$ における $-\Delta$ のディリクレ境界条件のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-h_x(y)(x,y\in B,x\ne y)$$
で定める。$x_0=\left(\frac{1}{2},0\right)$, $y_0=\left(0,\frac{1}{2}\right)$ のとき、$G(x_0,y_0)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の上半空間を ${\mathbb{R}}_{+}^3=\{y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid y_3>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=\frac{1}{4\pi |z|}(z\in {\mathbb{R}}^3,z\ne 0)$$
とする（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。$x=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対し $x^{\ast }=(x_1,x_2,-x_3)$ とおき、鏡像法による ${\mathbb{R}}_{+}^3$ のディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi (y-x^{\ast })(x,y\in \overline{{\mathbb{R}}_{+}^3},x\ne y)$$
で定める。さらに $y^{\prime }=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$ に対し
$$K(x,y^{\prime })=\frac{\partial G}{\partial y_3}(x,y){|}_{y=(y_1,y_2,0)}$$
とおく。$x_0=(0,0,1)$ のとき、積分
$${\int }_{\{y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^2:|y^{\prime }|<1\}}K(x_0,y^{\prime })d{y}^{\prime }$$
の値を求めよ。

平面の第1象限を $Q=\{(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2\mid y_1>0,y_2>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=-\frac{1}{2\pi }\log |z|(z\in {\mathbb{R}}^2,z\ne 0)$$
とする。$x\in Q$ を固定したとき、関数 $G(x,\cdot )$ は次の 3 条件をみたすものとする。

• $(1)$ $G(x,y)=\Phi (y-x)-h^x(y)$ と書ける。ここで $h^x$ は $Q$ で調和で $\overline{Q}$ 上連続である。
• $(2)$ $y\in \partial Q$ のとき $G(x,y)=0$ である。
• $(3)$ $|y|\to \infty$ のとき $G(x,y)\to 0$ である。

この条件をみたす $G$（$Q$ におけるディリクレ問題のグリーン関数）について、$x=(1,2)$, $y=(2,1)$ のときの値 $G(x,y)$ を求めよ。