偏微分方程式の問題

${\mathbb{R}}^2$ の開単位円板を $B=\{x\in {\mathbb{R}}^2\mid |x|<1\}$ とし（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (x)=-\frac{1}{2\pi }\log |x|(x\ne 0)$$
とする。$x\in B$ に対し、関数 $h_x\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$${\Delta }_y{h}_x(y)=0(y\in B),h_x(y)=\Phi (y-x)(y\in \partial B)$$
をみたすもの（最大値原理により一意に定まる）とし、$B$ における $-\Delta$ のディリクレ境界条件のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-h_x(y)(x,y\in B,x\ne y)$$
で定める。$x_0=\left(\frac{1}{2},0\right)$, $y_0=\left(0,\frac{1}{2}\right)$ のとき、$G(x_0,y_0)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の開単位球を $B=\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid |x|<1\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (x)=\frac{1}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
とする。各 $y\in B$ に対して、$h^y\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$$\Delta h^y=0(\text{in }B),h^y(x)=\Phi (x-y)(x\in \partial B)$$
を満たす関数とし、$B$ におけるディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (x-y)-h^y(x)(x,y\in B,x\ne y)$$
で定める。$x_0=\left(0,0,\frac{1}{3}\right)$, $y_0=\left(0,0,-\frac{1}{2}\right)$ のとき、$G(x_0,y_0)$ の値を求めよ。

平面の第1象限を $Q=\{(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2\mid y_1>0,y_2>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=-\frac{1}{2\pi }\log |z|(z\in {\mathbb{R}}^2,z\ne 0)$$
とする。$x\in Q$ を固定したとき、関数 $G(x,\cdot )$ は次の 3 条件をみたすものとする。

• $(1)$ $G(x,y)=\Phi (y-x)-h^x(y)$ と書ける。ここで $h^x$ は $Q$ で調和で $\overline{Q}$ 上連続である。
• $(2)$ $y\in \partial Q$ のとき $G(x,y)=0$ である。
• $(3)$ $|y|\to \infty$ のとき $G(x,y)\to 0$ である。

この条件をみたす $G$（$Q$ におけるディリクレ問題のグリーン関数）について、$x=(1,2)$, $y=(2,1)$ のときの値 $G(x,y)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における作用素 $L=-\Delta +1$ を考える（$\Delta$ はラプラシアン、$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。超関数の意味で
$$(-\Delta +1)\Phi ={\delta }_0({\mathbb{R}}^3\text{ 上})$$
をみたし、$x\ne 0$ で $|x|$ のみに依存し、かつ $|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となる関数 $\Phi$ を $L$ の基本解とする。ここで ${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタである。

$B=\{y\in {\mathbb{R}}^3\mid |y|<1\}$ の定義関数を $f={\chi }_B$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
と定める。$u(2,0,0)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する非粘性バーガース方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$T>0$ に対し、$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T$ の上限を $T^{\ast }$ とする。$T^{\ast }$ を求めよ。