偏微分方程式の問題

$g(x)=\frac{1}{1+x^2}$ とおく。

特性曲線. 特性曲線 $x=x(t)$ を $\frac{dx}{dt}=u(x(t),t)$ で定めると、その上で
$$\frac{d}{dt}u(x(t),t)=u_t+u_x\frac{dx}{dt}=u_t+u{u}_x=0$$
なので $u$ は一定である。したがって $x(0)=\xi$ から出る特性曲線は直線
$$x=\xi +g(\xi )t$$
で、その上で $u=g(\xi )$ である。

解が $C^1$ である条件. 写像 $\xi \mapsto \xi +g(\xi )t$ が $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への $C^1$ 級の微分同相であれば、陰関数 $u=g(\xi (x,t))$ は $C^1$ 級の解を与える。その微分は
$$\frac{\partial x}{\partial \xi }=1+g^{\prime }(\xi )t$$
で、また $u=g(\xi )$ を $x$ で微分すると
$$u_x=\frac{g^{\prime }(\xi )}{1+g^{\prime }(\xi )t}.$$
$1+g^{\prime }(\xi )t>0$ がすべての $\xi$ で成り立つ間は写像は狭義単調増加で（$g$ は有界なので全射でもあり）、古典解が得られる。一方、$g^{\prime }({\xi }_0)<0$ である ${\xi }_0$ に対して $t\to -1/g^{\prime }({\xi }_0)$ とすると $u_x\to -\infty$ となり（特性曲線が交わり）、それ以上 $C^1$ 解は続かない。よって
$$T^{\ast }=\frac{1}{{\max }_{\xi }(-g^{\prime }(\xi ))}.$$

$-g^{\prime }$ の最大値. $g^{\prime }(\xi )=-\frac{2\xi }{(1+{\xi }^2{)}^2}$。$h(\xi )=-g^{\prime }(\xi )=\frac{2\xi }{(1+{\xi }^2{)}^2}$ とおくと
$$h^{\prime }(\xi )=\frac{2(1+{\xi }^2)-8{\xi }^2}{(1+{\xi }^2{)}^3}=\frac{2(1-3{\xi }^2)}{(1+{\xi }^2{)}^3}.$$
$h$ は $\xi \le 0$ で $h\le 0$、$\xi >0$ では $\xi =\frac{1}{\sqrt{3}}$ で最大となり
$$h\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2/\sqrt{3}}{(4/3{)}^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{9}{16}=\frac{9}{8\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.$$

したがって
$$T^{\ast }=\frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}.$$

特性曲線法により、$x=\xi +u_0(\xi )t$ 上で $u=u_0(\xi )$（$u_0(\xi )=\frac{1}{1+{\xi }^2}$）。古典解は写像 $\xi \mapsto \xi +u_0(\xi )t$ が全単射（微分 $1+u_0^{\prime }(\xi )t>0$）である間存在し、最初に特性曲線が交わる時刻が $T^{\ast }=-1/{\min }_{\xi }{u}_0^{\prime }(\xi )$（$\min u_0^{\prime }<0$ のとき）。$u_0^{\prime }(\xi )=-\frac{2\xi }{(1+{\xi }^2{)}^2}$。$g(\xi )=\frac{2\xi }{(1+{\xi }^2{)}^2}$ の最大値を求める。$g^{\prime }(\xi )=\frac{2(1+{\xi }^2)-8{\xi }^2}{(1+{\xi }^2{)}^3}=\frac{2(1-3{\xi }^2)}{(1+{\xi }^2{)}^3}$ なので $\xi =1/\sqrt{3}$ で最大。$g(1/\sqrt{3})=\frac{2/\sqrt{3}}{(4/3{)}^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{9}{16}=\frac{9}{8\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$。よって $\min u_0^{\prime }=-\frac{3\sqrt{3}}{8}$ で $T^{\ast }=\frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}\approx 1.54$。検算: $\xi =1/\sqrt{3}$ で $1+u_0^{\prime }{T}^{\ast }=1-\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}=0$。$\xi \to \pm \infty$ では $u_0^{\prime }\to 0$ なので最小値は実際に達成される。$t<T^{\ast }$ では $1+u_0^{\prime }(\xi )t>0$ が全 $\xi$ で成り立ち、$\xi +u_{0}t\to \pm \infty$ なので全単射となり $C^1$ 解が存在する。