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偏微分方程式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学偏微分方程式

領域 $D = {(x, y) \in R^{2} ∣ x > 0}$ 上の未知関数 $u = u (x, y)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$x u_{x} + 2 y u_{y} = u + x^{2} ((x, y) \in D), u (1, y) = y (y \in R)$
を考える。この問題の $D$ 上の $C^{1}$ 級の解 $u$ について、 $u (2, 12)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）（説明と入口の問題）
1 階線形微分方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

特性方程式 $\frac{d x}{d s} = x$ , $\frac{d y}{d s} = 2 y$ , $\frac{d u}{d s} = u + x^{2}$ を、初期曲線 $x = 1$ 上の点 $(1, η)$ から解きましょう。

ヒント 2

特性曲線は $x = e^{s}$ , $y = η e^{2 s}$ です。 $u$ についての式は $\frac{d u}{d s} - u = e^{2 s}$ という 1 階線形常微分方程式になります。

ヒント 3

$u = e^{2 s} + (η - 1) e^{s}$ が得られます。点 $(2, 12)$ に対応する $s$ と $η$ を求めましょう。

答えと解説

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8

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解説を読む

特性方程式. パラメータ $s$ に関する特性方程式は
$\frac{d x}{d s} = x, \frac{d y}{d s} = 2 y, \frac{d u}{d s} = u + x^{2}$
である。初期曲線 $x = 1$ 上の点 $(1, η)$ から出発する（ $s = 0$ で $x = 1$ , $y = η$ , $u = η$ ）とする。

特性曲線. 最初の 2 式から
$x = e^{s}, y = η e^{2 s} .$
$x > 0$ の各点 $(x, y)$ に対して $s = lo g x$ , $η = y / x^{2}$ がただ 1 つ定まるので、 $D$ の各点をちょうど 1 本の特性曲線が通り、それは初期曲線 $x = 1$ と 1 回だけ交わる。

$u$ の決定. 第 3 式は $x^{2} = e^{2 s}$ より
$\frac{d u}{d s} - u = e^{2 s}$
となる。両辺に $e^{- s}$ を掛けると $\frac{d}{d s} (e^{- s} u) = e^{s}$ なので $e^{- s} u = e^{s} + C$ 、すなわち $u = e^{2 s} + C e^{s}$ 。 $s = 0$ で $u = η$ より $C = η - 1$ 。よって
$u = e^{2 s} + (η - 1) e^{s} .$
$e^{s} = x$ , $η = y / x^{2}$ を代入して
$u (x, y) = x^{2} + (\frac{y}{x ^{2}} - 1) x = x^{2} - x + \frac{y}{x} .$

検算. $u_{x} = 2 x - 1 - \frac{y}{x ^{2}}$ , $u_{y} = \frac{1}{x}$ より $x u_{x} + 2 y u_{y} = 2 x^{2} - x - \frac{y}{x} + \frac{2 y}{x} = 2 x^{2} - x + \frac{y}{x}$ 。一方 $u + x^{2} = 2 x^{2} - x + \frac{y}{x}$ で一致する。また $u (1, y) = 1 - 1 + y = y$ である。

値.
$u (2, 12) = 4 - 2 + \frac{12}{2} = 8.$

別解

特性曲線: $\frac{d x}{d s} = x$ 、 $\frac{d y}{d s} = 2 y$ 、 $\frac{d u}{d s} = u + x^{2}$ 。初期曲線 $x = 1$ 上の点 $(1, y_{0})$ から出発して $x = e^{s}$ 、 $y = y_{0} e^{2 s}$ （すなわち $y_{0} = y / x^{2}$ ）。\n\n $u$ については $\frac{d u}{d s} = u + e^{2 s}$ 、 $u (0) = y_{0}$ 。積分因子 $e^{- s}$ により $\frac{d}{d s} (e^{- s} u) = e^{s}$ 、 $e^{- s} u = y_{0} + e^{s} - 1$ 、 $u = e^{s} (y_{0} + e^{s} - 1)$ 。\n\n $s = lo g x$ 、 $y_{0} = y / x^{2}$ を代入して $u (x, y) = x (\frac{y}{x ^{2}} + x - 1) = \frac{y}{x} + x^{2} - x$ 。\n\n検算: $x u_{x} = - \frac{y}{x} + 2 x^{2} - x$ 、 $2 y u_{y} = \frac{2 y}{x}$ で和は $\frac{y}{x} + 2 x^{2} - x$ 。一方 $u + x^{2} = \frac{y}{x} + 2 x^{2} - x$ で一致。 $u (1, y) = y + 1 - 1 = y$ で初期条件も満たす。\n\n $u (2, 12) = \frac{12}{2} + 4 - 2 = 8$ 。この点は特性曲線 $y_{0} = 12/4 = 3$ 上にある（ $3 \cdot 4 = 12$ ）。特性曲線は $D$ 全体を重複なく覆う（ $y_{0} = y / x^{2}$ ）ので解は一意。

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