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偏微分方程式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学偏微分方程式

$R^{2}$ 上の未知関数 $u = u (x, y)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$u_{x} + 2 x u_{y} = 2 u ((x, y) \in R^{2}), u (0, y) = y^{2} + 1 (y \in R)$
を考える。この問題の $R^{2}$ 全体で定義された $C^{1}$ 級の解 $u (x, y)$ を、特性曲線の方法を用いて $x, y$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

特性曲線を $x$ をパラメータとする曲線 $(x, y (x))$ として求め、その上で $u$ が満たす常微分方程式を考える。

ヒント 2

特性方程式は $\frac{d y}{d x} = 2 x$ , $\frac{d u}{d x} = 2 u$ である。特性曲線は $y - x^{2} = c$ （一定）となる。

ヒント 3

特性曲線 $y = x^{2} + c$ に沿って $u = u (0, c) e^{2 x}$ となる。 $u (0, c)$ を初期条件で表し、 $c$ を $x, y$ で書き直す。

答えと解説

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e^{2 x} ((y - x^{2})^{2} + 1)

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解説を読む

特性曲線を $x$ をパラメータとして $(x, y (x))$ と表す。特性方程式は
$\frac{d y}{d x} = 2 x, \frac{d u}{d x} = 2 u$
である。

第 1 式を積分すると $y = x^{2} + c$ （ $c$ は定数）となり、特性曲線は放物線 $y - x^{2} = c$ である。この曲線は $x = 0$ で点 $(0, c)$ を通る。初期曲線 $x = 0$ 上での特性方向 $(1, 2 x) = (1, 0)$ は初期曲線の接方向 $(0, 1)$ と一次独立なので、初期曲線は非特性的であり、 $R^{2}$ のどの点も $x = 0$ と交わるちょうど 1 本の特性曲線上にある。

特性曲線に沿って $U (x) = u (x, x^{2} + c)$ とおくと、連鎖律より
$U^{'} (x) = u_{x} + 2 x u_{y} = 2 U$
となるので $U (x) = U (0) e^{2 x}$ 。初期条件より $U (0) = u (0, c) = c^{2} + 1$ だから
$u (x, x^{2} + c) = (c^{2} + 1) e^{2 x} .$
ここで $c = y - x^{2}$ を代入して
$u (x, y) = e^{2 x} ((y - x^{2})^{2} + 1) .$

検算: $w = y - x^{2}$ とおくと $u = e^{2 x} (w^{2} + 1)$ , $w_{x} = - 2 x$ , $w_{y} = 1$ より
$u_{x} = 2 e^{2 x} (w^{2} + 1) - 4 x e^{2 x} w, u_{y} = 2 e^{2 x} w .$
よって $u_{x} + 2 x u_{y} = 2 e^{2 x} (w^{2} + 1) - 4 x e^{2 x} w + 4 x e^{2 x} w = 2 u$ 。また $u (0, y) = y^{2} + 1$ を満たす。

答え: $u (x, y) = e^{2 x} ((y - x^{2})^{2} + 1)$

別解

特性曲線は $\frac{d y}{d x} = 2 x$ より $y = x^{2} + c$ 、すなわち $c = y - x^{2}$ が一定。この曲線上で $\frac{d u}{d x} = 2 u$ なので $u = f (c) e^{2 x}$ 。初期条件 $u (0, y) = f (y) = y^{2} + 1$ より $f (c) = c^{2} + 1$ 。よって $u (x, y) = ((y - x^{2})^{2} + 1) e^{2 x}$ 。
検算: $u_{x} = (- 4 x (y - x^{2})) e^{2 x} + 2 ((y - x^{2})^{2} + 1) e^{2 x}$ , $u_{y} = 2 (y - x^{2}) e^{2 x}$ 。 $u_{x} + 2 x u_{y} = (- 4 x (y - x^{2}) + 4 x (y - x^{2})) e^{2 x} + 2 u = 2 u$ 。 $x = 0$ で $u = y^{2} + 1$ 。この $u$ は $R^{2}$ 全体で $C^{\infty}$ であり、特性曲線は各点を通る $y = x^{2} + c$ で全平面を覆うので解は一意。

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