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偏微分方程式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学偏微分方程式

$R^{2}$ 上の $C^{1}$ 級の未知関数 $u = u (x, t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$u_{t} + 3 t^{2} u_{x} = 2 t u ((x, t) \in R^{2}), u (x, 0) = x (x \in R)$
を考える。特性曲線の方法を用いて、解 $u (x, t)$ を $x, t$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）（説明と入口の問題）
変数分離形（説明と入口の問題）
多変数の連鎖律（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

特性曲線の方法を使う。 $x$ を $t$ の関数と見て、曲線 $x = x (t)$ に沿った $u (x (t), t)$ の変化を考える。

ヒント 2

特性方程式は $\frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$ , $\frac{d u}{d t} = 2 t u$ 。前者から特性曲線、後者から特性曲線に沿った $u$ の値が求まる。

ヒント 3

特性曲線は $x = t^{3} + ξ$ （ $ξ = x - t^{3}$ ）で、その上で $u = u (ξ, 0) e^{t^{2}} = ξ e^{t^{2}}$ となる。あとは $ξ$ を $x, t$ で表して代入する。

答えと解説

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(x - t^{3}) e^{t^{2}}

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解説を読む

手順 1：特性方程式を立てる。 方程式 $u_{t} + 3 t^{2} u_{x} = 2 t u$ の左辺は、曲線 $x = x (t)$ に沿った $u$ の変化率と見ることができる。実際、 $x = x (t)$ に沿って $U (t) = u (x (t), t)$ とおくと、連鎖律より
$\frac{d U}{d t} = u_{x} \frac{d x}{d t} + u_{t} .$
そこで $\frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$ となる曲線（特性曲線）を選べば、 $\frac{d U}{d t} = u_{t} + 3 t^{2} u_{x} = 2 t U$ となる。よって特性方程式は
$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2}, \frac{d U}{d t} = 2 t U .$

手順 2：特性曲線を求める。 $\frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$ を積分すると $x = t^{3} + ξ$ 。ここで $ξ$ は $t = 0$ での $x$ の値（特性曲線の出発点）である。すなわち $ξ = x - t^{3}$ 。

手順 3：特性曲線に沿って $u$ を求める。 $\frac{d U}{d t} = 2 t U$ は変数分離形で、解は $U (t) = U (0) e^{t^{2}}$ 。初期条件より $U (0) = u (ξ, 0) = ξ$ なので
$U (t) = ξ e^{t^{2}} .$

手順 4：元の変数に戻す。 $ξ = x - t^{3}$ を代入して
$u (x, t) = (x - t^{3}) e^{t^{2}} .$
各点 $(x, t)$ を通る特性曲線はちょうど 1 本（ $ξ = x - t^{3}$ ）なので、この式は $R^{2}$ 全体で定まる。

確認： $u_{x} = e^{t^{2}}$ 、 $u_{t} = - 3 t^{2} e^{t^{2}} + 2 t (x - t^{3}) e^{t^{2}}$ より
$u_{t} + 3 t^{2} u_{x} = 2 t (x - t^{3}) e^{t^{2}} = 2 t u,$
また $u (x, 0) = x$ であり、確かに解になっている。

答え： $u (x, t) = (x - t^{3}) e^{t^{2}}$

別解

特性方程式は $d x / d t = 3 t^{2}$ より $x - t^{3} = ξ$ （定数）。特性曲線上で $d u / d t = 2 t u$ なので $u = C (ξ) e^{t^{2}}$ 。
$t = 0$ で $u (x, 0) = x$ より、 $t = 0$ のとき $ξ = x$ なので $C (ξ) = ξ$ 。よって $u (x, t) = (x - t^{3}) e^{t^{2}}$ 。

検算： $u_{t} = - 3 t^{2} e^{t^{2}} + (x - t^{3}) 2 t e^{t^{2}}$ 、 $u_{x} = e^{t^{2}}$ 。 $u_{t} + 3 t^{2} u_{x} = (x - t^{3}) 2 t e^{t^{2}} = 2 t u$ となり方程式を満たす。また $u (x, 0) = x$ で初期条件も満たす。解は $C^{1}$ 級である。

一意性： $t$ の全範囲で特性曲線が $R^{2}$ 全体を覆い、各特性曲線は直線 $t = 0$ と 1 点で交わるので解は一意。

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