偏微分方程式の問題

特性曲線の方法を使う。方程式は $a(x,t)u_t+b(x,t)u_x=cu+d$ の形で、$a=1$, $b=x$, $c=d=0$ である。

特性方程式を立てる。 パラメータを $t$ そのものにとり、曲線 $x=X(t)$ に沿って $u$ を見ると、連鎖律より
$$\frac{d}{dt}u(X(t),t)=u_t+X^{\prime }(t)u_x$$
である。そこで $X^{\prime }(t)=X(t)$ となる曲線（特性曲線）を選ぶと、方程式から
$$\frac{d}{dt}u(X(t),t)=u_t+X{u}_x=0$$
となり、$u$ は特性曲線に沿って一定である。

特性曲線を求める。 $\frac{dX}{dt}=X$, $X(0)=x_0$ を解くと（変数分離形）
$$X(t)=x_0{e}^t$$

初期値を運ぶ。 $u$ は特性曲線に沿って一定なので
$$u(x_0{e}^t,t)=u(x_0,0)=x_0^2$$

もとの変数に戻す。 点 $(x,t)$ を通る特性曲線の出発点は $x=x_0{e}^t$ より $x_0=x{e}^{-t}$。これは任意の $(x,t)\in {\mathbb{R}}^2$ に対してただ 1 つに決まる。よって
$$u(x,t)={\left(x{e}^{-t}\right)}^2=x^2{e}^{-2t}$$

確かめ。 $u_t=-2x^2{e}^{-2t}$, $u_x=2x{e}^{-2t}$ より $u_t+x{u}_x=-2x^2{e}^{-2t}+2x^2{e}^{-2t}=0$。また $u(x,0)=x^2$。

特性曲線は $\frac{dx}{dt}=x$ より $x=x_0{e}^t$。この上で $\frac{d}{dt}u(x(t),t)=u_t+x{u}_x=0$ なので $u$ は一定で、$u(x,t)=u(x_0,0)=x_0^2$。$x_0=x{e}^{-t}$ より $u(x,t)=x^2{e}^{-2t}$。
検算: $u_t=-2x^2{e}^{-2t}$、$u_x=2x{e}^{-2t}$ なので $u_t+x{u}_x=-2x^2{e}^{-2t}+2x^2{e}^{-2t}=0$。$u(x,0)=x^2$。$C^1$ 級である。
一意性: 任意の $C^1$ 級の解は特性曲線上で一定なので、上の解に限られる。