偏微分方程式の問題

特性曲線の方法を使う。方程式 $u_t+(\cos t)u_x=t$ の左辺は、曲線 $x=x(t)$ に沿った $u$ の微分
$$\frac{d}{dt}u(x(t),t)=u_t+x^{\prime }(t)u_x$$
と見なせる。そこで特性方程式（常微分方程式）
$$\frac{dx}{dt}=\cos t,\frac{du}{dt}=t$$
を考える。

手順 1（特性曲線を求める） $t=0$ で $x=x_0$ を通る特性曲線は、$\frac{dx}{dt}=\cos t$ を積分して
$$x=x_0+\sin t.$$

手順 2（特性曲線に沿って $u$ を求める） この曲線に沿って $\frac{du}{dt}=t$ なので、積分して $u=u(x_0,0)+\frac{t^2}{2}$。初期条件 $u(x_0,0)=x_0^2$ より
$$u=x_0^2+\frac{t^2}{2}.$$

手順 3（$x_0$ を消去する） 手順 1 より $x_0=x-\sin t$。これを代入して
$$u(x,t)=(x-\sin t{)}^2+\frac{t^2}{2}.$$
各点 $(x,t)$ を通る特性曲線はちょうど 1 本で、必ず $t=0$ の直線と交わるので、この式は ${\mathbb{R}}^2$ 全体で定まる。

確かめ $u_x=2(x-\sin t)$, $u_t=-2(x-\sin t)\cos t+t$ より $u_t+(\cos t)u_x=t$ が成り立ち、$u(x,0)=x^2$ も満たす。

よって $u(x,t)=(x-\sin t{)}^2+\frac{t^2}{2}$。

特性曲線法で解く。特性曲線は $dx/dt=\cos t$ より $x=\sin t+c$ となる。この曲線に沿って $\frac{d}{dt}u(x(t),t)=u_t+\cos t{u}_x=t$ が成り立つ。

両辺を $0$ から $t$ まで積分すると $u(x(t),t)=u(x(0),0)+t^2/2$ を得る。ここで $x(0)=c$ なので $u(x(0),0)=c^2$ である。

$c=x-\sin t$ を代入して $u(x,t)=(x-\sin t{)}^2+t^2/2$ となる。

検算：$u_t=-2(x-\sin t)\cos t+t$、$u_x=2(x-\sin t)$ である。よって $u_t+\cos t{u}_x=t$ が成り立つ。また $u(x,0)=x^2$ も満たす。

$C^1$ 級の解の一意性は特性曲線法により保証される。