偏微分方程式の問題

方針. 方程式 $u_t+t{u}_x=-u$ は $a{u}_t+b{u}_x=cu$ の形（$a=1$, $b=t$, $c=-1$）の変数係数の 1 階線形偏微分方程式である。特性曲線 $x=x(t)$ に沿って $u$ の変化を追うと、偏微分方程式が常微分方程式に帰着する。

(1) 特性曲線を求める. 曲線 $x=x(t)$ に沿った $u$ の変化は、多変数の連鎖律より
$$\frac{d}{dt}u(x(t),t)=u_t+\frac{dx}{dt}{u}_x$$
である。これが方程式の左辺 $u_t+t{u}_x$ と一致するように
$$\frac{dx}{dt}=t$$
と選ぶ。これを積分すると $x=\frac{t^2}{2}+x_0$（$x_0$ は $t=0$ での位置）。したがって特性曲線は
$$x_0=x-\frac{t^2}{2}$$
が一定の曲線である。

(2) 特性曲線に沿って $u$ の常微分方程式を解く. 特性曲線上では $U(t)=u(x(t),t)$ とおくと、方程式より
$$\frac{dU}{dt}=-U$$
となる。これは変数分離形で、$U(t)=U(0)e^{-t}$。初期条件から $U(0)=u(x_0,0)=x_0^2$ なので
$$u(x(t),t)=x_0^2{e}^{-t}.$$

(3) $x_0$ を $x,t$ で表す. (1) より $x_0=x-\frac{t^2}{2}$ を代入して
$$u(x,t)=e^{-t}{\left(x-\frac{t^2}{2}\right)}^2.$$

検算. $w=x-\frac{t^2}{2}$ とおくと $u=e^{-t}{w}^2$ で、
$$u_t=-e^{-t}{w}^2+e^{-t}\cdot 2w\cdot (-t),u_x=2e^{-t}w.$$
よって $u_t+t{u}_x=-e^{-t}{w}^2-2t{e}^{-t}w+2t{e}^{-t}w=-e^{-t}{w}^2=-u$ となり方程式を満たす。また $u(x,0)=x^2$ も満たす。

以上より $u(x,t)=e^{-t}{\left(x-\frac{t^2}{2}\right)}^2$。

特性方程式は $\frac{dx}{dt}=t$, $\frac{du}{dt}=-u$（特性曲線に沿った $u$ の変化）である。

1. $\frac{dx}{dt}=t$ を解くと $x=\frac{t^2}{2}+c$。すなわち特性曲線は $c=x-\frac{t^2}{2}$ が一定の曲線で、$t=0$ では $x=c$ を通る。
2. この曲線に沿って $\frac{d}{dt}u(x(t),t)=u_t+t{u}_x=-u$ なので、$u=u(c,0)e^{-t}=c^2{e}^{-t}$。
3. $c=x-\frac{t^2}{2}$ を代入して $u(x,t)={\left(x-\frac{t^2}{2}\right)}^2{e}^{-t}$。

検算: $f={\left(x-\frac{t^2}{2}\right)}^2$ とおくと $u=f{e}^{-t}$。$f_t=-2t\left(x-\frac{t^2}{2}\right)$, $f_x=2\left(x-\frac{t^2}{2}\right)$ より $f_t+t{f}_x=0$。よって $u_t+t{u}_x=e^{-t}(f_t+t{f}_x-f)=-f{e}^{-t}=-u$ で方程式を満たす。また $u(x,0)=x^2$ で初期条件も満たす。さらに $u$ は $C^1$ 級である。特性曲線は $t\ge 0$ の各点を $t=0$ 上の点とちょうど 1 つ結ぶので、解は一意。