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偏微分方程式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学偏微分方程式

$u = u (x, t)$ に対する半線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$u_{t} + x u_{x} = u^{2} (x \in R, 0 < t < 1), u (x, 0) = \frac{1}{1 + x ^{2}} (x \in R)$
は $R \times [0, 1)$ 上でただ 1 つの $C^{1}$ 級の解 $u$ をもつ。特性曲線の方法でこの解を求め、 $u (e, \frac{1}{2})$ の値を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底である。

この問題で使うもの

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）（説明と入口の問題）
変数分離形（説明と入口の問題）
多変数の連鎖律（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

特性曲線 $\frac{d x}{d t} = x$ を求め、その上で $u$ が満たす常微分方程式を考える。

ヒント 2

特性曲線は $x = x_{0} e^{t}$ で、その上で $z = u (x (t), t)$ は $\frac{d z}{d t} = z^{2}$ , $z (0) = \frac{1}{1 + x _{0}^{2}}$ を満たす。

ヒント 3

$z (t) = \frac{z _{0}}{1 - z _{0} t}$ に $x_{0} = x e^{- t}$ を代入すると $u (x, t) = \frac{1}{1 + x ^{2} e ^{- 2 t} - t}$ となる。あとは $x = e, t = \frac{1}{2}$ を代入する。

答えと解説

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\frac{2}{1 + 2 e}

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解説を読む

特性曲線. 特性曲線 $x = x (t)$ を
$\frac{d x}{d t} = x, x (0) = x_{0}$
で定めると $x (t) = x_{0} e^{t}$ 。この曲線に沿って $z (t) = u (x (t), t)$ とおくと、連鎖律より
$\frac{d z}{d t} = u_{t} + \frac{d x}{d t} u_{x} = u_{t} + x u_{x} = z^{2}, z (0) = \frac{1}{1 + x _{0}^{2}} =: z_{0} .$

常微分方程式を解く. $z_{0} > 0$ なので変数分離して $- \frac{1}{z} = t - \frac{1}{z _{0}}$ 、すなわち
$z (t) = \frac{z _{0}}{1 - z _{0} t} .$
$0 < z_{0} \leq 1$ だから $0 \leq t < 1$ で $1 - z_{0} t > 0$ であり、解は $0 \leq t < 1$ で定義される。

解の表示. $x_{0} = x e^{- t}$ を代入して
$u (x, t) = \frac{\frac{1}{1 + x ^{2} e ^{- 2 t}}}{1 - \frac{t}{1 + x ^{2} e ^{- 2 t}}} = \frac{1}{1 + x ^{2} e ^{- 2 t} - t} .$
（ $t = 0$ で初期条件を満たし、方程式に代入すれば確かめられる。）

値の計算. $x = e$ , $t = \frac{1}{2}$ のとき $x^{2} e^{- 2 t} = e^{2} \cdot e^{- 1} = e$ だから
$u (e, \frac{1}{2}) = \frac{1}{1 + e - \frac{1}{2}} = \frac{1}{e + \frac{1}{2}} = \frac{2}{1 + 2 e} .$

別解

特性方程式は $\frac{d x}{d t} = x$ 、 $\frac{d u}{d t} = u^{2}$ 。初期点 $(x_{0}, 0)$ から出る特性曲線は $x = x_{0} e^{t}$ 。その上で $u$ は $u^{'} = u^{2}$ 、 $u (0) = u_{0} = \frac{1}{1 + x _{0}^{2}}$ を満たすので、 $\frac{d}{d t} (- 1/ u) = 1$ より $- \frac{1}{u} = - \frac{1}{u _{0}} + t$ 、すなわち $u = \frac{u _{0}}{1 - u _{0} t}$ 。\n\n $x_{0} = x e^{- t}$ を代入して、 $u (x, t) = \frac{1/ ( 1 + x ^{2} e ^{- 2 t} )}{1 - t / ( 1 + x ^{2} e ^{- 2 t} )} = \frac{1}{1 + x ^{2} e ^{- 2 t} - t}$ 。分母は $0 < t < 1$ で $1 - t > 0$ より正なので $R \times [0, 1)$ 上で滑らかに定義される。\n\n検算: $D = 1 - t + x^{2} e^{- 2 t}$ とおくと $u = 1/ D$ 。 $u_{t} = - D_{t} / D^{2} = (1 + 2 x^{2} e^{- 2 t}) / D^{2}$ 、 $u_{x} = - 2 x e^{- 2 t} \cdot$ ではなく $u_{x} = - D_{x} / D^{2} = - 2 x e^{- 2 t} / D^{2}$ 。よって $u_{t} + x u_{x} = (1 + 2 x^{2} e^{- 2 t} - 2 x^{2} e^{- 2 t}) / D^{2} = 1/ D^{2} = u^{2}$ となり方程式を満たす。 $t = 0$ で $u = 1/ (1 + x^{2})$ も成り立つ。\n\n $x = e, t = \frac{1}{2}$ : $x^{2} e^{- 2 t} = e^{2} \cdot e^{- 1} = e$ 。 $D = 1 - \frac{1}{2} + e = e + \frac{1}{2}$ 。よって $u (e, \frac{1}{2}) = \frac{1}{e + \frac{1}{2}} = \frac{2}{2 e + 1}$ 。

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