偏微分方程式の問題

${\mathbb{R}}^2$ の開単位円板を $B=\{x\in {\mathbb{R}}^2\mid |x|<1\}$ とし（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (x)=-\frac{1}{2\pi }\log |x|(x\ne 0)$$
とする。$x\in B$ に対し、関数 $h_x\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$${\Delta }_y{h}_x(y)=0(y\in B),h_x(y)=\Phi (y-x)(y\in \partial B)$$
をみたすもの（最大値原理により一意に定まる）とし、$B$ における $-\Delta$ のディリクレ境界条件のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-h_x(y)(x,y\in B,x\ne y)$$
で定める。$x_0=\left(\frac{1}{2},0\right)$, $y_0=\left(0,\frac{1}{2}\right)$ のとき、$G(x_0,y_0)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の上半空間を ${\mathbb{R}}_{+}^3=\{y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid y_3>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=\frac{1}{4\pi |z|}(z\in {\mathbb{R}}^3,z\ne 0)$$
とする（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。$x=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対し $x^{\ast }=(x_1,x_2,-x_3)$ とおき、鏡像法による ${\mathbb{R}}_{+}^3$ のディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi (y-x^{\ast })(x,y\in \overline{{\mathbb{R}}_{+}^3},x\ne y)$$
で定める。さらに $y^{\prime }=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$ に対し
$$K(x,y^{\prime })=\frac{\partial G}{\partial y_3}(x,y){|}_{y=(y_1,y_2,0)}$$
とおく。$x_0=(0,0,1)$ のとき、積分
$${\int }_{\{y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^2:|y^{\prime }|<1\}}K(x_0,y^{\prime })d{y}^{\prime }$$
の値を求めよ。

平面の円環領域 $\Omega =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 1<x^2+y^2<4\}$ において、$u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ がディリクレ問題
$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0(\text{in }\Omega ),$$
$$u(x,y)=1(x^2+y^2=1),u(x,y)=1+\frac{3}{2}x(x^2+y^2=4)$$
を満たすとする。このとき $u\left(\frac{3}{4},1\right)$ の値を求めよ。

平面の第1象限を $Q=\{(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2\mid y_1>0,y_2>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=-\frac{1}{2\pi }\log |z|(z\in {\mathbb{R}}^2,z\ne 0)$$
とする。$x\in Q$ を固定したとき、関数 $G(x,\cdot )$ は次の 3 条件をみたすものとする。

• $(1)$ $G(x,y)=\Phi (y-x)-h^x(y)$ と書ける。ここで $h^x$ は $Q$ で調和で $\overline{Q}$ 上連続である。
• $(2)$ $y\in \partial Q$ のとき $G(x,y)=0$ である。
• $(3)$ $|y|\to \infty$ のとき $G(x,y)\to 0$ である。

この条件をみたす $G$（$Q$ におけるディリクレ問題のグリーン関数）について、$x=(1,2)$, $y=(2,1)$ のときの値 $G(x,y)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ において、作用素 $-\Delta +1$ の基本解を考える。すなわち、超関数の意味で
$$-\Delta \Phi +\Phi ={\delta }_0(\text{in }{\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3))$$
をみたし、$\Phi (x)$ は $|x|$ のみに依存し、$|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となるものを $\Phi$ とする（${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタ）。

単位閉球 $\overline{B}=\{y\in {\mathbb{R}}^3:|y|\le 1\}$ の定義関数を $f={\chi }_{\overline{B}}$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
とおく（$u$ は $-\Delta u+u=f$ の、無限遠で $0$ に減衰する解である）。点 $x_0=(2,0,0)$ における値 $u(x_0)$ を求めよ。