偏微分方程式の問題

鏡像法による構成。 $x=(a,b)\in Q$ に対して、鏡像点を
$$x^{(1)}=(-a,b),x^{(2)}=(a,-b),x^{(3)}=(-a,-b)$$
とおき、
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi (y-x^{(1)})-\Phi (y-x^{(2)})+\Phi (y-x^{(3)})$$
と定める。

条件 $(1)$ の確認. $x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)}$ はいずれも $\overline{Q}$ の外にある。したがって
$$h^x(y)=\Phi (y-x^{(1)})+\Phi (y-x^{(2)})-\Phi (y-x^{(3)})$$
は $\overline{Q}$ の近傍で調和である。

条件 $(2)$ の確認.
- $y_1=0$ のとき: $|y-x|=|y-x^{(1)}|$ かつ $|y-x^{(2)}|=|y-x^{(3)}|$ であるから、$G=0$ となる。
- $y_2=0$ のとき: $|y-x|=|y-x^{(2)}|$ かつ $|y-x^{(1)}|=|y-x^{(3)}|$ であるから、$G=0$ となる。

条件 $(3)$ の確認. $G$ をまとめると
$$G(x,y)=\frac{1}{2\pi }\log \frac{|y-x^{(1)}||y-x^{(2)}|}{|y-x||y-x^{(3)}|}$$
である。$|y|\to \infty$ のとき対数の中身は $1$ に近づくので、$G\to 0$ となる。

一意性. 条件をみたす $G$ が 2 つあれば、その差は $Q$ で調和、$\overline{Q}$ 上連続で、境界上で $0$、無限遠で $0$ に近づく。十分大きな半径の円で $Q$ を切った有界領域に最大値原理を使うと、差は恒等的に $0$ である。よって上の $G$ が求めるものである。

値の計算. $x=(1,2)$, $y=(2,1)$ とする。
- $|y-x|=|(1,-1)|=\sqrt{2}$
- $x^{(1)}=(-1,2)$: $|y-x^{(1)}|=|(3,-1)|=\sqrt{10}$
- $x^{(2)}=(1,-2)$: $|y-x^{(2)}|=|(1,3)|=\sqrt{10}$
- $x^{(3)}=(-1,-2)$: $|y-x^{(3)}|=|(3,3)|=3\sqrt{2}$

したがって
$$G(x,y)=\frac{1}{2\pi }\log \frac{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{1}{2\pi }\log \frac{10}{6}=\frac{1}{2\pi }\log \frac{5}{3}.$$

第1象限のグリーン関数は鏡像法で作る。$x=(x_1,x_2)$ の像点を $x^{(1)}=(-x_1,x_2)$, $x^{(2)}=(x_1,-x_2)$, $x^{(3)}=(-x_1,-x_2)$ とおき、
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi (y-x^{(1)})-\Phi (y-x^{(2)})+\Phi (y-x^{(3)})$$
とする。

条件の確認:
- 像点はすべて $Q$ の外にあるので、$h^x(y)=\Phi (y-x^{(1)})+\Phi (y-x^{(2)})-\Phi (y-x^{(3)})$ は $Q$ で調和で $\overline{Q}$ 上連続である。
- $y_1=0$ では $|y-x|=|y-x^{(1)}|$ かつ $|y-x^{(2)}|=|y-x^{(3)}|$ となり、$G=0$ である。$y_2=0$ でも同様に $|y-x|=|y-x^{(2)}|$ かつ $|y-x^{(1)}|=|y-x^{(3)}|$ となり、$G=0$ である。
- $|y|\to \infty$ のとき、$G=-\frac{1}{4\pi }\log \frac{|y-x{|}^2|y-x^{(3)}{|}^2}{|y-x^{(1)}{|}^2|y-x^{(2)}{|}^2}$ の対数の中身は 1 に収束するので、$G\to 0$ である。

以上より、この $G$ は 3 条件をみたす。

$x=(1,2)$, $y=(2,1)$ のとき、像点は $x^{(1)}=(-1,2)$, $x^{(2)}=(1,-2)$, $x^{(3)}=(-1,-2)$ である。
- $|y-x{|}^2=1+1=2$
- $|y-x^{(1)}{|}^2=3^2+1^2=10$
- $|y-x^{(2)}{|}^2=1^2+3^2=10$
- $|y-x^{(3)}{|}^2=3^2+3^2=18$

よって
$$G=-\frac{1}{4\pi }\left(\log 2-\log 10-\log 10+\log 18\right)=-\frac{1}{4\pi }\log \frac{36}{100}=\frac{1}{4\pi }\log \frac{25}{9}=\frac{1}{2\pi }\log \frac{5}{3}.$$

検算: $\log (36/100)=\log (9/25)$ なので符号も含めて上の式と一致する。