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偏微分方程式の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学偏微分方程式

$φ, ψ$ を $R^{3}$ 上の台がコンパクトな $C^{\infty}$ 級関数とし、 $u \in C^{2} (R^{3} \times [0, \infty))$ を波動方程式の初期値問題
$u_{tt} = Δ u (x \in R^{3}, t > 0), u (x, 0) = φ (x), u_{t} (x, 0) = ψ (x) (x \in R^{3})$
の解とする。ここで $Δ$ は $x$ についてのラプラシアンである。このとき、各 $x \in R^{3}$ について広義積分 $\int_{0}^{\infty} u (x, t) d t$ は絶対収束し、
$\int_{0}^{\infty} u (x, t) d t = \frac{1}{4 π} \int_{R^{3}} \frac{ψ ( y )}{∣ x - y ∣} d y$
が成り立つ（特に左辺は $φ$ によらない）ことを示せ。

ただし、この初期値問題の $C^{2}$ 級の解はただ 1 つであり、 $t > 0$ でキルヒホッフの公式
$u (x, t) = \frac{\partial}{\partial t} (t M_{φ} (x, t)) + t M_{ψ} (x, t), M_{f} (x, t) = \frac{1}{4 π} \int_{∣ ω ∣ = 1} f (x + t ω) d S_{ω}$
で与えられることは用いてよい（ $M_{f} (x, t)$ は球面 $∣ y - x ∣ = t$ 上での $f$ の平均値で、 $d S_{ω}$ は単位球面上の面積要素）。

この問題で使うもの

波動方程式（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）
重積分の変数変換とヤコビアン（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（78 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

キルヒホッフの公式で $u (x, t)$ を書き、まず $t$ が十分大きいと $u (x, t) = 0$ となること（強いホイヘンスの原理）を示して、積分を有限区間 $[0, T]$ の積分に帰着させる。

ヒント 2

$φ$ の項は $\frac{\partial}{\partial t} (t M_{φ})$ という $t$ についての完全微分なので、 $t$ で積分すると端点の値だけが残る。 $ψ$ の項は $t M_{ψ} (x, t) = \frac{1}{4 π} \int_{∣ y - x ∣ = t} \frac{ψ ( y )}{∣ y - x ∣} d S_{y}$ と書ける。

ヒント 3

$supp φ, supp ψ \subset {∣ y ∣ < R}$ とし $T = ∣ x ∣ + R$ とおくと、 $t > T$ では球面 $∣ y - x ∣ = t$ が台と交わらない。 $\int_{0}^{T} \frac{\partial}{\partial t} (t M_{φ}) d t = T M_{φ} (x, T) - lim_{δ \to 0} δ M_{φ} (x, δ)$ を調べる。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

台が ${∣ y ∣ < R}$ に含まれるとし、 $t > ∣ x ∣ + R$ では球面 $∣ y - x ∣ = t$ が台と交わらないことから $u (x, t) = 0$ を導き、積分の絶対収束を示している（2 点）
$M_{φ} (x, t)$ が $t$ について $C^{1}$ 級（積分記号下の微分）であることに触れ、 $φ$ の項を微分積分学の基本定理で端点の値に直している（2 点）
端点の値が $t = T$ で $M_{φ} (x, T) = 0$ 、 $t \to + 0$ で $t M_{φ} \to 0$ （ $φ$ の有界性）となり、 $φ$ の寄与が $0$ であることを示している（2 点）
面積要素 $d S_{y} = t^{2} d S_{ω}$ を用いて $t M_{ψ} (x, t) = \frac{1}{4 π} \int_{∣ y - x ∣ = t} \frac{ψ ( y )}{∣ y - x ∣} d S_{y}$ と書き換えている（2 点）
$ψ (y) /∣ y - x ∣$ の可積分性を確かめて極座標の公式で体積積分にまとめ、 $supp ψ \subset {∣ y - x ∣ < T}$ から積分範囲を $R^{3}$ にして結論を得ている（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$φ, ψ$ の台はコンパクトなので、ある $R > 0$ について $supp φ \cup supp ψ \subset {∣ y ∣ < R}$ である。 $x \in R^{3}$ を固定し、 $T = ∣ x ∣ + R$ とおく。

ステップ 1： $M_{f} (x, \cdot)$ の滑らかさ。

$f = φ$ または $ψ$ とする。 $f$ は $C^{\infty}$ 級で台がコンパクトなので、 $f$ とそのすべての導関数は有界である。被積分関数 $f (x + t ω)$ は $(t, ω)$ について連続で、 $t$ についての各階の偏導関数 $\sum_{∣ α ∣ = m} \frac{m !}{α !} ω^{α} \partial^{α} f (x + t ω)$ も $(t, ω)$ について連続かつ有界である。単位球面はコンパクトだから積分記号下の微分ができ、 $t \mapsto M_{f} (x, t)$ は $R$ 全体で $C^{\infty}$ 級である。したがって $t \mapsto t M_{φ} (x, t)$ も $R$ 上で $C^{\infty}$ 級である。

ステップ 2： $t > T$ で $u (x, t) = 0$ （ホイヘンスの原理）。

$s > T$ とし、 $∣ ω ∣ = 1$ とする。三角不等式より $∣ x + s ω ∣ \geq s - ∣ x ∣ > T - ∣ x ∣ = R$ だから、 $φ (x + s ω) = ψ (x + s ω) = 0$ である。よって $s > T$ のすべての $s$ で $M_{φ} (x, s) = M_{ψ} (x, s) = 0$ 。 $t > T$ のとき、 $t$ の近傍 $(T, \infty)$ で $s M_{φ} (x, s) \equiv 0$ なのでその導関数も $0$ であり、キルヒホッフの公式から $u (x, t) = 0 + 0 = 0$ となる。

ステップ 3：絶対収束。

$u$ は $R^{3} \times [0, \infty)$ で連続なので、 $t \mapsto u (x, t)$ は $[0, T]$ で連続、特に有界であり、ステップ 2 より $t > T$ では $0$ である。よって
$\int_{0}^{\infty} ∣ u (x, t) ∣ d t = \int_{0}^{T} ∣ u (x, t) ∣ d t < \infty$
となり、広義積分は絶対収束して $\int_{0}^{\infty} u (x, t) d t = \int_{0}^{T} u (x, t) d t$ である。

ステップ 4： $φ$ の項の寄与は $0$ 。

$0 < t \leq T$ ではキルヒホッフの公式が使えるので
$\int_{0}^{T} u (x, t) d t = δ \to + 0 lim \int_{δ}^{T} u (x, t) d t = δ \to + 0 lim (\int_{δ}^{T} \frac{\partial}{\partial t} (t M_{φ} (x, t)) d t + \int_{δ}^{T} t M_{ψ} (x, t) d t)$
（最初の等号は $u (x, \cdot)$ が $[0, T]$ で連続であることによる）。ステップ 1 より $t M_{φ} (x, t)$ は $C^{1}$ 級なので、微分積分学の基本定理から
$\int_{δ}^{T} \frac{\partial}{\partial t} (t M_{φ} (x, t)) d t = T M_{φ} (x, T) - δ M_{φ} (x, δ) .$
ここで $∣ M_{φ} (x, t) ∣ \leq sup ∣ φ ∣$ だから $δ M_{φ} (x, δ) \to 0$ $(δ \to + 0)$ 。また $M_{φ} (x, \cdot)$ は連続で $t > T$ では $0$ だから $M_{φ} (x, T) = 0$ 。よってこの項の極限は $0$ である。 $t M_{ψ} (x, t)$ は $[0, T]$ で連続なので第 2 項の極限は $\int_{0}^{T} t M_{ψ} (x, t) d t$ であり、
$\int_{0}^{\infty} u (x, t) d t = \int_{0}^{T} t M_{ψ} (x, t) d t . (1)$

ステップ 5：極座標による書き換え。

球面 $∣ y - x ∣ = t$ 上の面積要素は $d S_{y} = t^{2} d S_{ω}$ （ $y = x + t ω$ ）だから、 $t > 0$ で
$t M_{ψ} (x, t) = \frac{t}{4 π t ^{2}} \int_{∣ y - x ∣ = t} ψ (y) d S_{y} = \frac{1}{4 π} \int_{∣ y - x ∣ = t} \frac{ψ ( y )}{∣ y - x ∣} d S_{y} .$
関数 $h (y) = ψ (y) /∣ y - x ∣$ は $∣ h (y) ∣ \leq sup ∣ ψ ∣/∣ y - x ∣$ をみたし、 $\int_{∣ y - x ∣ < T} \frac{d y}{∣ y - x ∣} = \int_{0}^{T} \frac{1}{t} \cdot 4 π t^{2} d t = 2 π T^{2} < \infty$ より球 ${∣ y - x ∣ < T}$ 上で可積分である。よって $x$ を中心とする極座標の公式 $\int_{∣ y - x ∣ < T} h d y = \int_{0}^{T} (\int_{∣ y - x ∣ = t} h d S_{y}) d t$ が使えて、
$\int_{0}^{T} t M_{ψ} (x, t) d t = \frac{1}{4 π} \int_{∣ y - x ∣ < T} \frac{ψ ( y )}{∣ y - x ∣} d y .$
最後に、 $∣ y ∣ < R$ ならば $∣ y - x ∣ \leq ∣ y ∣ + ∣ x ∣ < R + ∣ x ∣ = T$ だから $supp ψ \subset {∣ y - x ∣ < T}$ であり、右辺の積分範囲を $R^{3}$ に広げても値は変わらない。

結論。 $(1)$ とステップ 5 より、各 $x \in R^{3}$ について $\int_{0}^{\infty} u (x, t) d t$ は絶対収束し、
$\int_{0}^{\infty} u (x, t) d t = \frac{1}{4 π} \int_{R^{3}} \frac{ψ ( y )}{∣ x - y ∣} d y$
が成り立つ。右辺は $φ$ を含まないので、左辺は $φ$ によらない。

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