偏微分方程式の問題

1. 球対称性への帰着. 初期値が球対称で、方程式は回転で不変なので、一意性より解も球対称である: $u=u(r,t)$, $r=|x|$。このとき $\Delta u=u_{rr}+\frac{2}{r}{u}_r$ であり、$v(r,t)=ru(r,t)$ とおくと
$$v_{rr}=r{u}_{rr}+2u_r=r\Delta u=r{u}_{tt}=v_{tt}.$$
よって $v$ は 1 次元波動方程式 $v_{tt}=v_{rr}$ を満たし、$v(0,t)=0$ である。

2. ダランベールの公式. $h(s)=s{e}^{-s^2}$ とおくと、$v(r,0)=h(r)$, $v_t(r,0)=0$。$h$ は奇関数なので、$h$ をそのまま $\mathbb{R}$ 全体で用いれば境界条件 $v(0,t)=0$ が自動的に満たされ、ダランベールの公式から
$$v(r,t)=\frac{h(r+t)+h(r-t)}{2},u(r,t)=\frac{h(r+t)+h(r-t)}{2r}(r>0).$$
（これは $u_t(x,0)=0$ の場合のキルヒホッフの公式 $u={\partial }_t(t{M}_g(x,t))$ を球対称の場合に計算したものと一致する。）

3. 原点での値. $h$ が奇関数なので $h(t)+h(-t)=0$。ロピタルの定理（または微分の定義）により
$$u(0,t)=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{h(r+t)+h(r-t)}{2r}=\frac{h^{\prime }(t)+h^{\prime }(-t)}{2}=h^{\prime }(t)$$
（$h^{\prime }$ は偶関数）。$h^{\prime }(s)=(1-2s^2)e^{-s^2}$ だから
$$u(0,t)=(1-2t^2)e^{-t^2}.$$

4. 最小値. $\phi (t)=(1-2t^2)e^{-t^2}$ とおくと
$${\phi }^{\prime }(t)=(-4t-2t(1-2t^2))e^{-t^2}=2t(2t^2-3)e^{-t^2}.$$
$t>0$ では $0<t<\sqrt{3/2}$ で ${\phi }^{\prime }<0$、$t>\sqrt{3/2}$ で ${\phi }^{\prime }>0$。また $t\to \infty$ で $\phi (t)\to 0$。よって最小値は $t=\sqrt{3/2}$ でとり、
$$\phi \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=(1-3)e^{-3/2}=-2e^{-3/2}.$$

答え: $-2e^{-3/2}$

初期値は球対称なので解も $u=u(r,t)$ ($r=|x|$) で、$v=ru$ は 1 次元波動方程式 $v_{tt}=v_{rr}$ を $r>0$ で満たし、$v(0,t)=0$ (奇拡張)。初期条件は $v(r,0)=r{e}^{-r^2}=:F(r)$、$v_t(r,0)=0$。$F$ は奇関数 $F(s)=s{e}^{-s^2}$ に拡張でき、d'Alembert の公式より $v(r,t)=\frac{1}{2}\{F(r+t)+F(r-t)\}=\frac{1}{2}\{F(t+r)-F(t-r)\}$。\n\nよって $u(r,t)=\frac{F(t+r)-F(t-r)}{2r}$、$r\to 0$ で $u(0,t)=F^{\prime }(t)$。$F^{\prime }(s)=(1-2s^2)e^{-s^2}$ なので $u(0,t)=g(t):=(1-2t^2)e^{-t^2}$。\n\n$g^{\prime }(t)=-4t{e}^{-t^2}-2t(1-2t^2)e^{-t^2}=2t{e}^{-t^2}(2t^2-3)$。$t>0$ では $t<\sqrt{3/2}$ で $g^{\prime }<0$、$t>\sqrt{3/2}$ で $g^{\prime }>0$ なので $t=\sqrt{3/2}$ で最小。$g=(1-3)e^{-3/2}=-2e^{-3/2}$。\n\n検算: $t\to \infty$ で $g\to 0$（$g<0$ の側から）、$t\to 0$ で $g=1$ であり、$-2e^{-3/2}\approx -0.446$ は $t=1$ での $g(1)=-e^{-1}\approx -0.368$ より小さく整合的。また $t=\sqrt{3/2}$ は $t>0$ に含まれる。