拡散方程式のグリーン関数と鏡像法

熱核 $G (x, t) = \frac{1}{4 π D t} e^{- x^{2} /4 D t}$ を既知として使い、半無限領域 $x > 0$ の境界条件（吸収壁 $u (0, t) = 0$ なら逆符号、反射壁 $\partial_{x} u (0, t) = 0$ なら同符号の鏡像源）を鏡像法で満たして、解の値や境界を通る流束 $D \partial_{x} u (0, t)$ ・吸収された総量を求められる

前提

フーリエ変換による解法と熱核（大学院数学偏微分方程式）

この技能までの道筋（81 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
偏微分方程式の用語と解の確認（大学院数学偏微分方程式）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
変数分離法（大学院数学偏微分方程式）
三角関数の積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
正弦級数・余弦級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
有界区間の熱方程式（大学院数学偏微分方程式）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
フーリエ変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
畳み込み（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
フーリエ変換による解法と熱核（大学院数学偏微分方程式）

説明

全空間の熱核 $G (x, t) = \frac{1}{4 π D t} e^{- x^{2} /4 D t}$ を組み合わせるだけで、壁のある半無限領域 $x > 0$ の拡散方程式 $\partial_{t} u = D \partial_{x}^{2} u$ を解く方法です。壁の向こう側 $x < 0$ に「鏡に映した仮想の源（鏡像源）」を置き、その符号を境界条件に合わせて選びます。粒子を吸い込む壁（吸収壁）や跳ね返す壁（反射壁）での濃度分布、壁に流れ込む流束、壁に吸収された総量などを、積分方程式を解かずに求められます。

なぜそうしてよいのか

拡散方程式は線形なので、解どうしを足し引きしたものもまた解です。また熱核は $x$ について偶関数で、 $G (x - a, t)$ は点 $x = a$ から広がる解、 $G (x + a, t)$ は点 $x = - a$ から広がる解です。そこで $x = a (a > 0)$ に置いた本物の源に対し、 $x = - a$ に鏡像源を置いた $u_{\mp} (x, t) = G (x - a, t) \mp G (x + a, t)$ を考えると、これは全空間で拡散方程式を満たし、 $t \to + 0$ では $x > 0$ の側で本物の源 $δ (x - a)$ だけに近づきます（鏡像源は $x < 0$ にあるので領域の中には現れません）。

境界での値を調べます。 $G$ が偶関数なので $G (- a, t) = G (a, t)$ となり、逆符号の組合せでは $u_{-} (0, t) = G (- a, t) - G (a, t) = 0$ 、つまり吸収壁の条件 $u (0, t) = 0$ が自動的に満たされます。一方 $\partial_{x} G$ は奇関数なので $\partial_{x} G (- a, t) = - \partial_{x} G (a, t)$ となり、同符号の組合せでは $\partial_{x} u_{+} (0, t) = \partial_{x} G (- a, t) + \partial_{x} G (a, t) = 0$ 、つまり反射壁の条件 $\partial_{x} u (0, t) = 0$ が満たされます。直観的には、吸収壁では「壁から逆向きの粒子（負の濃度）が来て打ち消す」、反射壁では「壁を越えようとした粒子と同じだけ向こうから戻ってくる」と考えられます。方程式・初期条件・境界条件をすべて満たすので、（有界な解の範囲で）これが求める解です。

一般の初期分布 $u (x, 0) = f (x) (x > 0)$ でも、各点 $y$ の寄与を重ね合わせて $u (x, t) = \int_{0}^{\infty} [G (x - y, t) \mp G (x + y, t)] f (y) d y$ とすれば同じ理由で境界条件が満たされます。拡散の流れ（流束）は $j = - D \partial_{x} u$ なので、壁 $x = 0$ へ向かう（ $- x$ 向きの）流束の大きさは $D \partial_{x} u (0, t)$ です。吸収壁で時刻 $t$ までに吸収された総量は、初めの総量から $x > 0$ に残っている量 $\int_{0}^{\infty} u d x$ を引けば求まり、これは流束を $0$ から $t$ まで時間積分したものに等しくなります。

手順

領域 $x > 0$ 、初期の源の位置 $x = a$ と量、境界条件（吸収壁 $u (0, t) = 0$ か反射壁 $\partial_{x} u (0, t) = 0$ か）を確認する。
壁について対称な点 $x = - a$ に鏡像源を置く。吸収壁なら逆符号、反射壁なら同符号にして $u (x, t) = G (x - a, t) \mp G (x + a, t)$ と書く（一般の初期分布なら $\int_{0}^{\infty} [G (x - y, t) \mp G (x + y, t)] f (y) d y$ ）。
$x = 0$ を代入して境界条件が満たされていることを確かめる（吸収壁なら $u (0, t) = 0$ 、反射壁なら $\partial_{x} u (0, t) = 0$ ）。
必要な量を計算する。解の値はそのまま代入し、壁への流束は $\partial_{x} G (x, t) = - \frac{x}{2 D t} G (x, t)$ を使って $D \partial_{x} u (0, t)$ を求め、吸収された総量は（初めの量） $- \int_{0}^{\infty} u d x$ か流束の時間積分で求める。

例題

拡散係数 $D = 1$ の拡散方程式 $\partial_{t} u = \partial_{x}^{2} u$ を領域 $x > 0$ で考える。 $x = 0$ は吸収壁で $u (0, t) = 0$ 、初期条件は $u (x, 0) = δ (x - 2)$ （ $x = 2$ に総量 $1$ の粒子）とする。時刻 $t = 1$ に壁へ流れ込む流束 $\partial_{x} u (0, 1)$ （ $= D \partial_{x} u (0, t)$ の $D = 1, t = 1$ での値）を求めよ。

例題の解答

手順 1: 領域は $x > 0$ 、源は $x = a = 2$ に量 $1$ 、境界は吸収壁。

手順 2: 吸収壁なので $x = - 2$ に逆符号の鏡像源を置き、
$u (x, t) = G (x - 2, t) - G (x + 2, t), G (x, t) = \frac{1}{4 π t} e^{- x^{2} /4 t} .$

手順 3: $u (0, t) = G (- 2, t) - G (2, t) = 0$ （ $G$ は偶関数）なので境界条件を満たす。

手順 4: $\partial_{x} G (x, t) = - \frac{x}{2 t} G (x, t)$ より
$\partial_{x} u (0, t) = \partial_{x} G (- 2, t) - \partial_{x} G (2, t) = \frac{2}{2 t} G (2, t) + \frac{2}{2 t} G (2, t) = \frac{2}{t} G (2, t) = \frac{2}{t 4 π t} e^{- 1/ t} .$
$t = 1$ を代入すると
$\partial_{x} u (0, 1) = \frac{2}{4 π} e^{- 1} = \frac{1}{π e} .$
正の値であり、粒子が壁に向かって（ $- x$ 向きに）流れ込んでいることと合っている。

答え: $\frac{1}{π e}$

よくある誤り

吸収壁なのに鏡像源を同符号にしてしまう誤り。 $G (x - a, t) + G (x + a, t)$ は $x = 0$ で $2 G (a, t) \neq = 0$ となり $u (0, t) = 0$ を満たさない。正しくは吸収壁で $G (x - a, t) - G (x + a, t)$ 、反射壁で $G (x - a, t) + G (x + a, t)$ 。
鏡像源を $x = - a$ ではなく $x = a$ や $x = 0$ に置いたり、 $G (x + a, t)$ を $G (- x - a, t)$ と別物だと思って符号を混乱する誤り。鏡像は壁について対称な位置 $x = - a$ で、 $G$ は偶関数なので $G (- x - a, t) = G (x + a, t)$ である。
流束の計算で $\partial_{x} G$ の符号や係数を落とす誤り。例えば $\partial_{x} u (0, t) = 0$ としたり $\frac{a}{2 D t} G (a, t)$ で止める誤り。正しくは $\partial_{x} G (x, t) = - \frac{x}{2 D t} G (x, t)$ より、吸収壁では本物と鏡像の寄与が同じ向きに足し合わされ $D \partial_{x} u (0, t) = \frac{a}{t} G (a, t) = \frac{a}{4 π D t ^{3}} e^{- a^{2} /4 D t}$ となる。
吸収された総量を $\int_{0}^{\infty} u d x$ そのものとしてしまう誤り。これは $x > 0$ に残っている量で、吸収壁では $\int_{0}^{\infty} [G (x - a, t) - G (x + a, t)] d x = \int_{- a}^{a} G (x, t) d x$ となる。吸収された量は $1 - \int_{- a}^{a} G (x, t) d x = 2 \int_{a}^{\infty} G (x, t) d x$ である（反射壁では総量は $1$ のまま保たれる）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$D > 0$ , $a > 0$ を定数とする。半無限領域 $x > 0$ での拡散方程式
$\frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (x > 0, t > 0)$
を、吸収壁の境界条件 $u (0, t) = 0$ と初期条件 $u (x, 0) = δ (x - a)$ （ $x = a$ に総量 $1$ の粒子を置く）のもとで考える。全空間の熱核
$G (x, t) = \frac{1}{4 π D t} e^{- x^{2} /4 D t}$
は既知としてよい。時刻 $t = \frac{a ^{2}}{D}$ における、粒子を置いた位置 $x = a$ での濃度 $u (a, \frac{a ^{2}}{D})$ を $a$ を用いて表せ。