ファインマン・カッツの公式

偏微分方程式の解を、ブラウン運動の期待値として表すファインマン・カッツの公式を使える

前提

伊藤の公式（大学院数学確率解析）
有界区間の熱方程式（大学院数学偏微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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説明

ファインマン・カッツの公式は、 $u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx} - V (x) u = 0$ のような偏微分方程式の解を、ブラウン運動の経路についての期待値として書き表す公式です。これを使うと、PDE を直接解かずに正規分布の計算だけで解を求められます。逆に、複雑な期待値を PDE を解いて計算することもできます。数理ファイナンスの割引期待値（オプション価格）や、量子力学の経路積分の数学的な土台としても使われます。

なぜそうしてよいのか

方程式 $u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx} - V (x) u = 0$ （ $0 \leq t < T$ ）と終端条件 $u (T, x) = g (x)$ を考えます。仮定は次のとおりです。
- $V$ は連続で下に有界（ある $c \geq 0$ で $V \geq - c$ ）、 $g$ は連続。
- $u$ は $[0, T] \times R$ で連続、 $[0, T) \times R$ で $C^{1, 2}$ 級。
- $[0, T) \times R$ で $∣ u ∣ + ∣ u_{x} ∣ \leq C (1 + ∣ x ∣^{m})$ （多項式増大）。 $u$ は連続なので、 $∣ u ∣$ の評価は $t = T$ でも成り立ちます。

$t < T$ と $x$ を固定し、 $W_{r} = B_{t + r} - B_{t}$ （ $r \geq 0$ ）とおきます。 $W$ は増分が独立で $W_{r} \sim N (0, r)$ 、経路は連続なので、 $0$ から出発するブラウン運動です。そこで $X_{s} = x + (B_{s} - B_{t}) = x + W_{s - t}$ （ $t \leq s \leq T$ ）とおきます。 $f (r, y) = u (t + r, x + y)$ とすれば $u (s, X_{s}) = f (s - t, W_{s - t})$ と書け、 $f$ の偏導関数は $u_{t}, u_{x}, u_{xx}$ をそのまま移したものです。したがって、ブラウン運動 $W$ に伊藤の公式を使ってよく、 $d W = d B_{s}$ です。ただし $C^{1, 2}$ 級なのは $s < T$ の範囲だけなので、 $0 < ε < T - t$ をとり、区間 $[t, T - ε]$ で考えます。 $Z_{s} = u (s, X_{s})$ は $d Z_{s} = (u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx}) (s, X_{s}) d s + u_{x} (s, X_{s}) d B_{s}$ を満たします。

一方、 $Y_{s} = exp (- \int_{t}^{s} V (X_{r}) d r)$ は被積分関数が $r$ について連続なので、普通の微分で $d Y_{s} = - V (X_{s}) Y_{s} d s$ となり、 $d B$ の項をもちません。そのため積の増分に現れる $Δ Y Δ Z$ は $O (Δ s) \cdot O (Δ s)$ の大きさで、和をとると 0 に近づきます。よって普通の積の微分と同じく $d (Y Z) = Y d Z + Z d Y$ が成り立ち、
$d (Y_{s} Z_{s}) = Y_{s} (u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx} - V u) (s, X_{s}) d s + Y_{s} u_{x} (s, X_{s}) d B_{s} = Y_{s} u_{x} (s, X_{s}) d B_{s}$
となります。PDE のおかげで $d s$ の項がちょうど消えるのがポイントです。 $0 < Y_{s} \leq e^{c (T - t)}$ と多項式増大から $E \int_{t}^{T - ε} (Y_{s} u_{x})^{2} d s < \infty$ なので、この伊藤積分の期待値は 0 です。 $Y_{t} Z_{t} = u (t, x)$ は確定値なので、 $u (t, x) = E [Y_{T - ε} u (T - ε, X_{T - ε})]$ を得ます。

次に $ε \to 0$ とします。 $u$ の連続性と経路の連続性から、被積分量は各経路で $Y_{T} g (X_{T})$ に収束します。さらに $M = ∣ x ∣ + max_{t \leq s \leq T} ∣ B_{s} - B_{t} ∣$ とおくと、被積分量は $e^{c (T - t)} C (1 + M^{m})$ で抑えられます。反射原理により $P (max_{r \leq τ} ∣ W_{r} ∣ \geq a) \leq 4 P (W_{τ} \geq a)$ で、裾はガウス型なので、 $E [M^{m}] < \infty$ です。よって優収束定理が使え、
$u (t, x) = E [exp (- \int_{t}^{T} V (X_{s}) d s) g (X_{T})]$
が得られます（ $t = T$ では両辺とも $g (x)$ ）。

この議論から、条件を満たす解は必ずこの期待値に一致します。つまり解は一意です。直観的には、粒子がブラウン運動で動き、場所 $x$ では率 $V (x)$ で「消滅（割引）」されながら最後に $g$ を受け取る、その平均が $u$ です。初期値問題 $v_{t} = \frac{1}{2} v_{xx} - V v$ 、 $v (0, x) = f (x)$ は、 $v (t, x) = u (T - t, x)$ と時間を反転すれば同じ議論に帰着し、 $v (t, x) = E [e^{- \int_{0}^{t} V (x + B_{s}) d s} f (x + B_{t})]$ となります。

手順

方程式を標準形 $u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx} - V (x) u = 0$ 、 $u (T, x) = g (x)$ に整理し、 $V$ と $g$ を読み取る。 $V$ が下に有界であること、 $u$ が $[0, T]$ で連続かつ $[0, T)$ で $C^{1, 2}$ 級であること、 $∣ u ∣ + ∣ u_{x} ∣$ が多項式増大であることを確認する。初期値問題 $v_{t} = \frac{1}{2} v_{xx} - V v$ なら、 $v (t, x) = E [e^{- \int_{0}^{t} V (x + B_{s}) d s} f (x + B_{t})]$ を使う。
時刻 $t$ に $x$ から出発するブラウン運動 $X_{s} = x + (B_{s} - B_{t})$ （ $t \leq s \leq T$ ）を用意する。このとき $X_{T} \sim N (x, T - t)$ である。
公式 $u (t, x) = E [exp (- \int_{t}^{T} V (X_{s}) d s) g (X_{T})]$ に当てはめる。
正規分布の性質などを使って期待値を計算する。 $V \equiv r$ （定数）なら、因子 $e^{- r (T - t)}$ を期待値の外に出せる。
得られた $u$ を元の PDE と終端条件に代入して検算し、増大条件を満たすことも確認する。

例題

$r$ を実数の定数、 $T > 0$ とする。 $u (t, x)$ は $[0, T] \times R$ で連続、 $[0, T) \times R$ で $C^{1, 2}$ 級であり、 $∣ u ∣ + ∣ u_{x} ∣ \leq C (1 + x^{2})$ を満たし、
$u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx} - r u = 0 (0 \leq t < T), u (T, x) = x^{2}$
を満たすとする。ファインマン・カッツの公式を用いて $u (t, x)$ を求めよ。

例題の解答

手順1：標準形で $V (x) \equiv r$ 、 $g (x) = x^{2}$ である。 $V$ は定数なので下に有界（ $c = ∣ r ∣$ ととれる）。正則性と増大条件（ $m = 2$ ）は仮定されている。
手順2： $X_{s} = x + (B_{s} - B_{t})$ とおくと、 $X_{T} \sim N (x, T - t)$ である。
手順3： $u (t, x) = E [exp (- \int_{t}^{T} r d s) X_{T}^{2}] = E [e^{- r (T - t)} X_{T}^{2}]$ 。
手順4：指数因子は確定値なので外に出す。 $E [B_{T} - B_{t}] = 0$ 、 $E [(B_{T} - B_{t})^{2}] = T - t$ より $E [X_{T}^{2}] = x^{2} + 2 x \cdot 0 + (T - t)$ である。よって $u (t, x) = e^{- r (T - t)} (x^{2} + T - t)$ 。
手順5：検算する。 $u_{t} = r u - e^{- r (T - t)}$ 、 $\frac{1}{2} u_{xx} = e^{- r (T - t)}$ なので、 $u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx} - r u = 0$ が成り立つ。 $u (T, x) = x^{2}$ も満たす。 $u$ は $[0, T] \times R$ で滑らかである。 $∣ u ∣ + ∣ u_{x} ∣ \leq e^{∣ r ∣ T} (x^{2} + T + 2∣ x ∣)$ なので、 $C (1 + x^{2})$ で抑えられる。

答え: $e^{- r (T - t)} (x^{2} + T - t)$

よくある誤り

指数の符号を逆にして $u = E [e^{+ \int_{t}^{T} V (X_{s}) d s} g (X_{T})]$ としてしまう誤り。正しくは、 $u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx} - V u = 0$ に対応するのは $e^{- \int_{t}^{T} V (X_{s}) d s}$ です。方程式が $u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx} + V u = 0$ のときに $e^{+ \int V}$ になります。
係数 $\frac{1}{2}$ を見落とし、 $u_{t} + u_{xx} = 0$ にもそのまま $X_{T} = x + (B_{T} - B_{t})$ を使ってしまう誤り。正しくは、伊藤の公式で現れるのは $\frac{1}{2} u_{xx}$ です。 $u_{t} + u_{xx} = 0$ には分散が 2 倍の過程 $X_{T} = x + 2 (B_{T} - B_{t}) \sim N (x, 2 (T - t))$ を使います。
残り時間を取り違え、 $X_{T} = x + B_{T}$ （分散 $T$ ）のように時刻 $0$ からのブラウン運動を使ってしまう誤り。正しくは、時刻 $t$ から出発させた $X_{T} = x + (B_{T} - B_{t}) \sim N (x, T - t)$ です。例題で分散を $T$ にすると $e^{- r (T - t)} (x^{2} + T)$ となり、 $t > 0$ では誤りです（正しくは $e^{- r (T - t)} (x^{2} + T - t)$ ）。
時間の向きを混同し、終端条件 $u (T, x) = g (x)$ の問題を $u_{t} = \frac{1}{2} u_{xx}$ の形のまま扱ってしまう誤り。正しくは、終端条件には後ろ向き方程式 $u_{t} + \frac{1}{2} u_{xx} - V u = 0$ が、初期条件 $v (0, x) = f (x)$ には前向き方程式 $v_{t} = \frac{1}{2} v_{xx} - V v$ が対応します。この 2 つは $v (t, x) = u (T - t, x)$ で互いに移り合います。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

ファインマン・カッツの公式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題