確率解析の問題

ファインマン・カッツの公式の確認. $(W_s{)}_{s\ge 0}$ を $W_0=0$ の 1 次元標準ブラウン運動とする。終端値問題
$${\partial }_{t}u+\frac{1}{2}{\partial }_{xx}u-V(x)u=0,u(T,x)=f(x)$$
の解で多項式増大度をもつもの（$V$ は下に有界）は
$$u(t,x)=E\left[\exp \left(-{\int }_0^{T-t}V(x+W_s)ds\right)f(x+W_{T-t})\right]$$
と表される。これは、$M_s=e^{-{\int }_0^{s}V(x+W_{\tau })d\tau }u(t+s,x+W_s)$ に伊藤の公式を使うと、偏微分方程式により $dt$ の項が消えて $M_s$ がマルチンゲールになり、$E[M_0]=E[M_{T-t}]$ が得られることからわかる（増大度の条件はこの期待値が有限で、マルチンゲール性が保たれるために必要）。

公式を当てはめる. 本問では $T=2$, $V(x)=r$（定数）, $f(x)=x^3$ である。$V$ が定数なので ${\int }_0^{T-t}Vds=r(2-t)$ となり、
$$u(t,x)=e^{-r(2-t)}E\left[(x+W_{2-t}{)}^3\right].$$

期待値の計算. $t=0$, $x=1$ とすると $W_2\sim N(0,2)$ なので $E[W_2]=0$, $E[W_2^2]=2$, $E[W_2^3]=0$（正規分布は 0 に関して対称）。3 乗の展開公式より
$$E[(1+W_2{)}^3]=1+3E[W_2]+3E[W_2^2]+E[W_2^3]=1+0+6+0=7.$$
また $e^{-2r}=e^{-\log 5}=\frac{1}{5}$。したがって
$$u(0,1)=\frac{1}{5}\cdot 7=\frac{7}{5}.$$

検算. 一般に $u(t,x)=e^{-r(2-t)}\left(x^3+3x(2-t)\right)$ である。$u_t=ru-3x{e}^{-r(2-t)}$, $u_{xx}=6x{e}^{-r(2-t)}$ より $u_t+\frac{1}{2}{u}_{xx}-ru=-3x{e}^{-r(2-t)}+3x{e}^{-r(2-t)}=0$、かつ $u(2,x)=x^3$ であり、増大度の条件も満たす。$u(0,1)=\frac{1}{5}(1+6)=\frac{7}{5}$ で一致する。

ファインマン・カッツの公式より、$W$ を標準ブラウン運動として $u(t,x)=e^{-r(2-t)}\mathbb{E}[(x+W_{2-t}{)}^3]$ である（$u$ は多項式増大の条件を満たすので、この解は一意に定まる）。

$t=0,x=1$ とすると $u(0,1)=e^{-2r}\mathbb{E}[(1+W_2{)}^3]$。

$W_2\sim N(0,2)$ より $\mathbb{E}[W_2]=0$、$\mathbb{E}[W_2^2]=2$、$\mathbb{E}[W_2^3]=0$。

$(1+W_2{)}^3=1+3W_2+3W_2^2+W_2^3$ なので、$\mathbb{E}[(1+W_2{)}^3]=1+0+3\cdot 2+0=7$。

$e^{-2r}=e^{-\log 5}=\frac{1}{5}$ なので $u(0,1)=\frac{7}{5}$。

検算：$v(t,x)=x^3+3x(2-t)$ が $v_t+\frac{1}{2}{v}_{xx}=-3x+3x=0$ を満たす。$u=e^{-r(2-t)}v$ とおくと $u_t=ru+e^{-r(2-t)}{v}_t$、$u_{xx}=e^{-r(2-t)}{v}_{xx}$ である。よって $u_t+\frac{1}{2}{u}_{xx}-ru=e^{-r(2-t)}(v_t+\frac{1}{2}{v}_{xx})=0$ となり、終端条件 $u(2,x)=x^3$ も満たす。