確率解析の問題

方針 ギルサノフの定理で、$X$ がドリフトなしのブラウン運動になるような確率測度 $Q$ に取り替える。

ステップ 1: 測度 $Q$ の定義 ${\mathcal{F}}_1$ 上で
$$\frac{dQ}{dP}=\exp \left(-2W_1-\frac{2^2}{2}\cdot 1\right)=\exp (-2W_1-2)$$
とおく。ドリフト $2$ は定数なのでノビコフ条件を満たし、この密度は $P$ のもとで期待値 $1$ の正の確率変数である。ギルサノフの定理より、$Q$ のもとで $X_t=W_t+2t(0\le t\le 1)$ は標準ブラウン運動になる。

ステップ 2: 逆向きの密度を $X$ で表す
$$\frac{dP}{dQ}=\exp (2W_1+2)=\exp (2(X_1-2)+2)=\exp (2X_1-2).$$

ステップ 3: 期待値を $Q$ のもとに書き換える $F={\left({\int }_0^1{X}_{t}dt\right)}^2$ とおくと
$$E_P\left[F{e}^{-2X_1}\right]=E_Q\left[F{e}^{-2X_1}\frac{dP}{dQ}\right]=E_Q\left[F{e}^{-2X_1}{e}^{2X_1-2}\right]=e^{-2}{E}_Q[F].$$
指数の因子がちょうど打ち消し合う。

ステップ 4: ドリフトなしのブラウン運動で計算 $Q$ のもとで $X$ は標準ブラウン運動なので $E_Q[X_s{X}_t]=\min (s,t)$。フビニの定理より
$$E_Q[F]={\int }_0^1{\int }_0^1{E}_Q[X_s{X}_t]dsdt={\int }_0^1{\int }_0^1\min (s,t)dsdt.$$
対称性から $s<t$ の部分の $2$ 倍として
$$2{\int }_0^1\left({\int }_0^{t}sds\right)dt=2{\int }_0^1\frac{t^2}{2}dt=\frac{1}{3}.$$

結論
$$E\left[{\left({\int }_0^1{X}_{t}dt\right)}^2{e}^{-2X_1}\right]=\frac{1}{3}{e}^{-2}=\frac{1}{3e^2}.$$

$X_1=W_1+2$ より $e^{-2X_1}=e^{-2W_1-4}=e^{-2}\cdot e^{-2W_1-2}$ である。$Z=e^{-2W_1-2}=\exp (\theta W_1-{\theta }^2/2)$（$\theta =-2$）は平均 1 の正のマルチンゲールの時刻 1 での値なので、$dQ=ZdP$ で測度 $Q$ を定める。

Girsanov の定理より、$Q$ のもとで $B_t=W_t+2t=X_t$ は標準ブラウン運動となる。

よって
$$E\left[{\left({\int }_0^1{X}_{t}dt\right)}^2{e}^{-2X_1}\right]=e^{-2}{E}_Q\left[{\left({\int }_0^1{B}_{t}dt\right)}^2\right].$$

$$E\left[{\left({\int }_0^1{B}_{t}dt\right)}^2\right]={\int }_0^1{\int }_0^1\min (s,t)dsdt=2{\int }_0^1{\int }_0^{t}sdsdt=2{\int }_0^1\frac{t^2}{2}dt=\frac{1}{3}.$$

検算：${\int }_0^1{B}_{t}dt$ は平均 0、分散 $1/3$ の正規分布に従う（${\int }_0^1(1-s)d{B}_s$ の分散 $={\int }_0^1(1-s{)}^{2}ds=1/3$）。これは上の値と一致する。

したがって答えは $\frac{e^{-2}}{3}$。