フビニ・トネリの定理

まず設定を確認します。$(X,\mathfrak{A},\mu )$ と $(Y,\mathfrak{B},\nu )$ は $\sigma$-有限な測度空間とします。$\sigma$-有限とは、測度が有限な可測集合を可算個とって全体を覆えることです。$\mathfrak{A}\otimes \mathfrak{B}$ は長方形 $A\times B$（$A\in \mathfrak{A},B\in \mathfrak{B}$）が生成する $\sigma$-加法族です。$\mu \otimes \nu$ は $(\mu \otimes \nu )(A\times B)=\mu (A)\nu (B)$ をみたす測度で、$\sigma$-有限性からただ一つに決まります。定理の主張は次の 2 つです。
【トネリ】$f:X\times Y\to [0,\infty ]$ が $\mathfrak{A}\otimes \mathfrak{B}$-可測なら、各 $x$ で $f(x,\cdot )$ は $\mathfrak{B}$-可測です。さらに $x\mapsto {\int }_{Y}f(x,y)d\nu (y)$ は $\mathfrak{A}$-可測で（$y$ についても同様）、$${\int }_{X\times Y}fd(\mu \otimes \nu )={\int }_X\left({\int }_{Y}fd\nu \right)d\mu ={\int }_Y\left({\int }_{X}fd\mu \right)d\nu$$ が成り立ちます。値は $\infty$ でもかまいません。
【フビニ】$f$ が $\mathfrak{A}\otimes \mathfrak{B}$-可測で ${\int }_{X\times Y}|f|d(\mu \otimes \nu )<\infty$ なら、$\mu$-a.e. の $x$ で $f(x,\cdot )$ は $\nu$-可積分です。そのうえで、a.e. で定まる関数 $x\mapsto {\int }_{Y}f(x,y)d\nu$ は $\mu$-可積分で、上と同じ等式が成り立ちます。

なぜ成り立つかを、集合の指示関数から順に確かめます。まず $\mu (X),\nu (Y)<\infty$ の場合を考えます。$E\subset X\times Y$ の切り口を $E_x=\{y:(x,y)\in E\}$、$E^y=\{x:(x,y)\in E\}$ とおきます。次の 3 条件をみたす $E\in \mathfrak{A}\otimes \mathfrak{B}$ の全体を $\mathcal{M}$ とします。(i) 切り口がすべて可測である。(ii) $x\mapsto \nu (E_x)$ と $y\mapsto \mu (E^y)$ が可測である。(iii) ${\int }_X\nu (E_x)d\mu ={\int }_Y\mu (E^y)d\nu$ が成り立つ。
長方形 $A\times B$ では、$\nu (E_x)=\nu (B)1_A(x)$ なので両辺とも $\mu (A)\nu (B)$ になり、$A\times B\in \mathcal{M}$ です。長方形を有限個、互いに素に合わせた集合の全体を $\mathcal{E}$ とします。$\mathcal{E}$ は補集合と有限和について閉じた集合族（代数）です。積分の線形性から $\mathcal{E}\subset \mathcal{M}$ となります。
次に、$\mathcal{M}$ が単調族であること、すなわち増加列の和集合と減少列の共通部分について閉じていることを示します。増加列 $E_n\uparrow E$ では $\nu ((E_n{)}_x)\uparrow \nu (E_x)$ なので、単調収束定理（前提の技能）で等式が極限でも保たれます。減少列 $E_n\downarrow E$ では、$\nu ((E_n{)}_x)\downarrow \nu (E_x)$ となるのに測度の連続性を使います。これには $\nu (Y)<\infty$ が必要です。さらに、定数 $\nu (Y)$ が優関数になり、$\mu (X)<\infty$ なのでこれは可積分です。よって優収束定理が使えます。減少列の段階で有限測度が本質的に必要になるわけです。
ここで単調族定理「代数を含む最小の単調族は、その代数が生成する $\sigma$-加法族に等しい」を使います。これにより $\mathcal{M}\supset \mathfrak{A}\otimes \mathfrak{B}$ となり、すべての可測集合で等式が成り立ちます。
一般の $\sigma$-有限の場合は、$\mu (X_n)<\infty$、$\nu (Y_n)<\infty$ をみたす増加列 $X_n\uparrow X$、$Y_n\uparrow Y$ をとります。$E\cap (X_n\times Y_n)$ に有限の場合の結果を使い、単調収束定理で $n\to \infty$ とすれば、有限の場合に帰着できます。この共通の値を $(\mu \otimes \nu )(E)$ と定めたものが直積測度です。

ここから関数に広げます。線形性により、結論は非負の単純関数に広がります。非負可測関数 $f$ に対しては、下から単調に近づく単純関数の列 $s_n\uparrow f$ をとります。内側の積分、外側の積分、重積分のそれぞれで単調収束定理を使えば、等式は極限でも保たれます。これがトネリの定理です。一般の $f$ は $f=f^{+}-f^{-}$ と分け、それぞれにトネリを使います。$\int |f|<\infty$ なので、トネリから ${\int }_X({\int }_Y|f|d\nu )d\mu <\infty$ です。したがって内側の積分は a.e. の $x$ で有限になり、引き算で $\infty -\infty$ は生じません。これがフビニの定理です。

仮定を外すと結論が崩れる例を 2 つ挙げます。1 つ目は $[0,1{]}^2$ 上の $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}$ です。$x>0$ では ${\int }_0^{1}fdy=[\frac{y}{x^2+y^2}{]}_0^1=\frac{1}{1+x^2}$ なので、${\int }_0^1{\int }_0^{1}fdydx=\frac{\pi }{4}$ です。一方、$f(y,x)=-f(x,y)$ なので、逆の順序では $-\frac{\pi }{4}$ になります。この $f$ は符号が変わり、しかも $\int |f|=\infty$ です。2 つ目は、$[0,1]$ 上のボレル集合族に入れたルベーグ測度と数え上げ測度の組です。数え上げ測度は $\sigma$-有限ではありません。この組で対角線の指示関数を積分すると、順序によって $0$ と $1$ という異なる値になります。