測度論・実解析の問題

方針. 被積分関数を $t$ についての積分で表し、2 重積分に直してから積分の順序を交換する。

手順 1：被積分関数を積分で表す. $x>0$ を固定すると、
$${\int }_1^2{e}^{-tx}dt={\left[-\frac{e^{-tx}}{x}\right]}_{t=1}^{t=2}=\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}.$$
したがって
$$I={\int }_0^{\infty }\left({\int }_1^2{e}^{-tx}dt\right)dx.$$

手順 2：トネリの定理の仮定を確かめる. $f(x,t)=e^{-tx}$ は $(0,\infty )\times [1,2]$ 上で連続なので、ボレル可測であり、直積測度に関して可測である。また $f(x,t)>0$ であり、非負である。ルベーグ測度は $\sigma$-有限である。よってトネリの定理が使える。積分値が有限かどうかを先に調べる必要はなく、積分の順序を自由に交換してよい。
$${\int }_0^{\infty }\left({\int }_1^2{e}^{-tx}dt\right)dx={\iint }_{(0,\infty )\times [1,2]}{e}^{-tx}d(x,t)={\int }_1^2\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-tx}dx\right)dt.$$

手順 3：内側の積分を計算する. $t\in [1,2]$ では $t>0$ なので、広義積分として
$${\int }_0^{\infty }{e}^{-tx}dx=\underset{R\to \infty }{\lim }{\left[-\frac{e^{-tx}}{t}\right]}_0^R=\underset{R\to \infty }{\lim }\frac{1-e^{-tR}}{t}=\frac{1}{t}.$$
非負関数なので、このルベーグ積分は上の広義積分の値と一致する。

手順 4：外側の積分を計算する.
$$I={\int }_1^2\frac{1}{t}dt=\log 2-\log 1=\log 2.$$

とくに $I$ は有限であり、被積分関数 $\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}$ は $(0,\infty )$ 上で可積分であることもわかる。

答え： $I=\log 2$

$e^{-x}-e^{-2x}={\int }_1^{2}x{e}^{-tx}dt$ なので、$\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}={\int }_1^2{e}^{-tx}dt$ と書ける。

$f(x,t)=e^{-tx}$ は $(0,\infty )\times [1,2]$ 上で連続かつ非負なので可測である。トネリの定理により積分の順序を交換できる。

${\int }_1^2{\int }_0^{\infty }{e}^{-tx}dxdt={\int }_1^2\frac{1}{t}dt=\log 2<\infty$

よって $f$ は可積分であり、フビニの定理から

$I={\int }_0^{\infty }{\int }_1^2{e}^{-tx}dtdx={\int }_1^2{\int }_0^{\infty }{e}^{-tx}dxdt=\log 2$

検算: $x\to 0$ で被積分関数は $1$ に近づき、$x$ が大きいときは $e^{-x}/x$ 程度で減衰するので積分は有限。また $0<I<{\int }_0^{\infty }{e}^{-x}/x$ の範囲で、被積分関数が正なので $I>0$ であり、$\log 2\approx 0.693$ は妥当。